Otwórz menu główne

Zbiór Vitalegopodzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a. Konstrukcję zbioru (wymagająca założenia aksjomatu wyboru) podał Giuseppe Vitali w 1905[1] i pokazał, że nie istnieje dla tego zbioru miara Lebesgue’a – miara, która jest niezmiennicza na przesunięcia, przyjmująca niezerowe i skończone wartości na przedziałach i określona na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.

Spis treści

KonstrukcjaEdytuj

Niech   oznacza miarę Lebesgue’a w zbiorze liczb rzeczywistych. W przedziale [0,1] można określić relację   w następujący sposób:

  wtedy i tylko wtedy, gdy   jest liczbą wymierną.

Relacja ~ jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0,1]. Aksjomat wyboru gwarantuje istnienie zbioru   który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji. Każdy zbiór o takiej własności nazywany jest zbiorem Vitalego.

Jeśli   jest zbiorem Vitalego, to:

  • różnica dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest liczbą niewymierną, skąd
  •   dla każdych dwóch różnych liczb wymiernych  

Oznacza to, że rodzina

 

jest przeliczalna i składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Gdyby   był zbiorem mierzalnym, to każdy ze zbiorów postaci   byłby zbiorem mierzalnym oraz zbiory te byłyby tej samej miary (miara Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia). Oznaczałoby to, że   jest zbiorem mierzalnym oraz

 

ponieważ

 

  nie może być więc miary zero, bo wówczas

 

  nie może być również zbiorem miary dodatniej, bo wówczas

 

co w sumie prowadzi do sprzeczności.

Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue’a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu „konstrukcja zbioru Vitalego” w znaczeniu „definicja takich zbiorów”.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Giuseppe Vitali. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. „Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani”, 1905. 

BibliografiaEdytuj