Zbiór algebraiczny

Zbiór algebraiczny – podzbiór przestrzeni afinicznej $K^{n},$ gdzie $K$ oznacza pewne ciało (najczęściej algebraicznie domknięte), złożony z wszystkich wspólnych zer pewnego zbioru ${\mathcal {S}}$ wielomianów pierścienia $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$ Innymi słowy, zbiór

$V=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}\colon \;f(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\;f\in {\mathcal {S}}\subset K[X_{1},\dots ,X_{n}]\}$

nazywamy zbiorem algebraicznym wyznaczonym przez zbiór ${\mathcal {S}}$ wielomianów (albo zbiorem wspólnych zer zbioru ${\mathcal {S}}$ i oznaczamy $V={\mathcal {Z}}({\mathcal {S}}$).

Jeśli $({\mathcal {S}})$ jest ideałem pierścienia $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$ generowanym przez zbiór ${\mathcal {S}},$ to ${\mathcal {Z}}(({\mathcal {S}}))={\mathcal {Z}}({\mathcal {S}}).$ Każdy zbiór algebraiczny można zatem traktować jako wspólny zbiór zer pewnego ideału pierścienia wielomianów. Z twierdzenia Hilberta o bazie wiadomo, że każdy ideał pierścienia $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ jest skończenie generowany, zatem istnieją takie wielomiany $f_{1},\dots ,f_{r},$ które generują ideał $({\mathcal {S}}).$ Z drugiej strony dla każdego wielomianu $f\in ({\mathcal {S}})$ istnieją wielomiany $g_{1},\dots ,g_{r}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}],$ że

$f=g_{1}f_{1}+\ldots +h_{r}f_{r}.$

Wynika stąd, że każde zero wielomianów $f_{1},\dots ,f_{r}$ jest także zerem dowolnego wielomianu z ideału $({\mathcal {S}}).$ Zatem każdy zbiór algebraiczny jest zbiorem rozwiązań skończonego układu równań algebraicznych

$\left\{{\begin{array}{l}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\end{array}}\right..$

Często, przyjmuje się właśnie taką definicję zbioru algebraicznego. Łatwo zauważyć, że zbiorem algebraicznym ideału zerowego jest cała przestrzeń $K^{n},$ natomiast zerem ideału jednostkowego $(1)$ jest zbiór pusty, gdyż wielomian stały $1$ nie ma zer. Jak widać, zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami algebraicznymi. Można wykazać, że suma skończonej rodziny zbiorów algebraicznych oraz część wspólna dowolnej rodziny podzbiorów algebraicznych przestrzeni $K^{n}$ są zbiorami algebraicznymi. Pozwala to wprowadzić w tej przestrzeni topologię, przyjmując za rodzinę zbiorów domkniętych rodzinę zbiorów algebraicznych. Tak określoną topologię nazywamy topologią Zariskiego przestrzeni $K^{n}.$ Topologia Zariskiego przestrzeni $K^{n+m}=K^{n}\times K^{m}$ nie jest topologią Tichonowa.

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.brak strony w książce