Otwórz menu główne

Zbiór ograniczony – termin używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Np. na prostej rzeczywistej ograniczone są przedziały liczbowe, które zadane są przez liczby skończone, np. lub Nieograniczone zaś są np. i cała prosta.

Spis treści

Porządki częścioweEdytuj

Niech   będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że   i   Powiemy, że

  • element   jest ograniczeniem górnym zbioru   jeśli  
  • element   jest ograniczeniem dolnym zbioru   jeśli  [1].

Każdy element zbioru   jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru   to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.

W szczególności, podzbiór   zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

Przestrzenie metryczneEdytuj

 
Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)

Niech   będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór   przestrzeni   nazywany jest zbiorem ograniczonym (w  ), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli. Równoważnie, jeżeli

 

Przestrzenie liniowo-topologiczneEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór   jest ograniczony w   gdy dla każdego otoczenia zera   istnieje   że  

Można wykazać, że jeśli   jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 121, seria: Biblioteka Matematyczna.