Zbiór otwarto-domknięty

Przykłady zbiorów otwarto-domkniętych: (1) każdy z trzech dużych grafów, (2) suma dowolnych dwóch grafów oraz (3) suma wszystkich trzech grafów.

Zbiór otwarto-domknięty – podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

PrzykładyEdytuj

  • W każdej przestrzeni topologicznej   zbiór pusty oraz cała przestrzeń   są zbiorami otwarto-domkniętymi.
  • Niech przestrzeń   będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń   ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty,  
  • Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru   liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór   jest otwarto-domkniętym podzbiorem   Ogólniej, jeśli   jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to   jest otwarto-domkniętym podzbiorem   (mimo iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej  ).
  • Jeśli   jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to   jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych   (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w  ).

WłasnościEdytuj

  • Przestrzeń topologiczna   jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w   są zbiór pusty oraz cała przestrzeń  
  • Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
  • Rodzina   wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni   tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura   jest algebrą Boole’a.
  • Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj