Otwórz menu główne

Zbiór pusty

zbiór niezawierający żadnych elementów

Zbiór pustyzbiór niezawierający żadnych elementów; oznaczany symbolami ∅, rzadziej {}. Zbiór, który nie jest pusty, tj. zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym.

W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego, a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.

WłasnościEdytuj

  • Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru:
     
bo zgodnie z definicją zachodzi
 
Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko.
  • Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:
     
  • Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
     
  • Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
     
  • Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:
     
Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera jeden element, czyli zbiór pusty.
  • Moc zbioru pustego wynosi 0:
     
  • Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą.
  • Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję   zwaną funkcją pustą.
  • Jeżeli   jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że:
     
  • Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej   i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:
     
  •   etc.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj