Zbiór stacjonarny

pojęcie teorii mnogości

Zbiory domknięte nieograniczone (club) – rodzina podzbiorów liczby kardynalnej (traktowanej jako liczba porządkowa) zawierająca zbiory w pewnym sensie duże.

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (taka nazwa używana jest m.in. w monografii Kunena[1]).

Definicje formalne

edytuj

Niech   będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (którą będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).

  • Powiemy, że zbiór   jest domknięty, jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na   który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby   mamy
 
  • Zbiór   jest nieograniczony w   jeśli  
  • Powiemy, że zbiór   jest clubem w   jeśli jest on zarówno domknięty, jak i nieograniczony.
  • Zbiór   jest stacjonarnym podzbiorem   jeśli   dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn. cluba) zbioru  
  • Zbiór   jest niestacjonarnym podzbiorem   jeśli   nie jest stacjonarny, czyli gdy   dla pewnego cluba  

Własności i przykłady

edytuj

Niech   będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.

  • Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż   jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
  • Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych   o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem  
  • Dla każdej funkcji  zbiór   jest clubem w  
  • Jeśli   jest rodziną clubów na     to przekrój   też jest clubem.
  • Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina
  dla pewnego cluba  
jest  -zupełnym filtrem podzbiorów  
Rodzina   wszystkich niestacjonarnych podzbiorów   tworzy  -zupełny ideał podzbiorów  
  • Lemat Fodora mówi, że jeśli   jest stacjonarnym podzbiorem   oraz   jest funkcją taką, że   to funkcja   jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru   (Odwrotnie, jeśli   jest niestacjonarnym podzbiorem   to istnieje funkcja   taka, że   która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru  ).

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Kunen, Kenneth. Set theory. An introduction to independence proofs, „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics” 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. s. xvi+313, ISBN 0-444-85401-0.