Otwórz menu główne

DefinicjaEdytuj

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu   (czyt. „zbiorem typu gie delta”), gdy jest on przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Według nowszej terminologii (zob. Hierarchia zbiorów borelowskich) zbiory typu   to inaczej zbiory klasy  

WłasnościEdytuj

Jest widoczne wprost z definicji, że przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów typu   jest też zbiorem tego typu; wykazuje się, że jest nim również suma skończenie wielu takich zbiorów.

Dopełnienie zbioru   jest zbiorem Fσ i na odwrót. Każdy zbiór otwarty jest typu   a w przestrzeniach metryzowalnych również zbiory domknięte są tego typu.

PrzykładyEdytuj

  • Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem typu   można go bowiem zapisać jako przekrój
 
  • Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu   (ten nietrywialny fakt jest konsekwencją twierdzenia Baire’a).
  • Można wykazać, że zbiór punktów ciągłości dowolnej funkcji   jest typu  

Z powyższych przykładów wynika w szczególności, że nie może istnieć funkcja o dziedzinie   ciągła we wszystkich punktach wymiernych i tylko w nich. (Da się natomiast udowodnić istnienie funkcji określonej na   której zbiorem punktów ciągłości jest zbiór liczb niewymiernych).

Zobacz teżEdytuj