Zbieżność prawie jednostajna

Zbieżność prawie jednostajna ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku.

Definicja

Niech $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem funkcji prawie wszędzie skończonych. $f_{n},f\colon A\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]$ – miara. $A\in {\mathfrak {M}}.$
Mówimy, że ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny do funkcji $f$ prawie jednostajnie względem miary $\mu$ (na zbiorze $A$) wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\bigwedge _{\varepsilon >0}\bigvee _{{\mathfrak {M}}\ni B\subset A}$$\left[\right.\mu (A\setminus B)<\varepsilon \wedge (f_{n}|_{B})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f|_{B}\left]\right..$

Twierdzenia o zbieżności prawie jednostajnej

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji).
• Twierdzenie Riesza.
• Twierdzenie Jegorowa.

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• warunek Cauchy’ego według miary

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 123.