Zbieżność punktowa

Zbieżność punktowa – własność ciągu funkcyjnego zapewniająca zbieżność ciągu wartości tych funkcji dla każdego argumentu.

DefinicjaEdytuj

Niech   oraz   będą przestrzeniami metrycznymi, zaś   dla   Wówczas ciąg funkcji   jest zbieżny punktowo do funkcji   jeżeli dla każdego   istnieje granica   Mówi się wtedy, że   jest granicą punktową ciągu  

Formalnie warunek ten można zapisać wzorem

 

PrzykładyEdytuj

 
Granica punktowa funkcji ciągłych nie musi być ciągła: ciągłe funkcje   (zaznaczone na zielono) są zbieżne punktowo do funkcji nieciągłej (zaznaczonej na czerwono).
  • Każdy ciąg stały jest zbieżny punktowo (do swojego stałego wyrazu).
  • Granica punktowa ciągu funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład niech dane będą funkcje   dane wzorem   dla   oraz   Ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji   opisanej wzorem
 
  • Granica punktowa ciągu funkcji, które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła, np. niech dana będzie funkcja Dirichleta   oraz funkcje   dla   Wówczas ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji stałej  
  • Niech   będzie funkcją różniczkowalną, a   będzie jej pochodną. Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe   dla   takie, że ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji  
  • Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że każda funkcja ciągła   jest granicą jednostajną, a więc i granicą punktową ciągu wielomianów.

WłasnościEdytuj

  • Jeśli   oraz ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji   a ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji   oraz   to
    ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji  
    ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji  
    jeśli dodatkowo   dla wszystkich   to ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji  
  • Jeśli   (dla  ) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji   to   jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich (zob. dalej).
  • Twierdzenie Baire’a: Jeśli   są przestrzeniami metrycznymi,   (dla  ) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji   to zbiór
  nie jest ciągła w punkcie  
jest pierwszej kategorii.
  • Z twierdzenia Jegorowa wynika, że jeśli   są funkcjami mierzalnymi w sensie miary Lebesgue’a i ciąg   jest zbieżny punktowo do funkcji   to dla każdego dodatniego   można wybrać zbiór   taki, że   oraz ciąg   jest zbieżny jednostajnie do funkcji  

Klasy Baire’aEdytuj

Zobacz też: zbiór borelowski.

Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury porządnych funkcji pomiędzy przestrzeniami polskimi. Można się umówić, że funkcje ciągłe są bardzo porządne, ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej porządne itd. Tak zasugerowany kierunek badań porządnych funkcji z przestrzeni euklidesowej   w liczby rzeczywiste   był zapoczątkowany przez francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a w 1899[1]. Tematyka ta była rozwinięta przez Henri Lebesgue’a w 1905[2]. Polski matematyk, Stefan Banach, uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w 1931[3].

Poniżej   są przestrzeniami polskimi, z kolei   jest przestrzenią Baire’a.

  • Funkcja   jest  -mierzalna (dla przeliczalnej liczby porządkowej  ) jeśli dla każdego zbioru otwartego   mamy, że  
  • Zauważmy że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje  -mierzalne. Można sprawdzić, że   jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy   jest  -mierzalna dla pewnego  
  • Można udowodnić, że funkcja   jest  -mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy   jest granicą punktową funkcji ciągłych.
  • Przez indukcję po liczbach porządkowych   określamy kiedy funkcja   jest klasy Baire’a  :
      jest klasy Baire’a 0, jeśli   jest ciągła,
      jest klasy Baire’a 1, jeśli   nie jest ciągła, ale jest  -mierzalna,
      jest klasy Baire’a   jeśli nie jest ona żadnej klasy   dla   ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji   gdzie każda   jest klasy Baire’a  
  • Okazuje się, że jeśli   jest klasy Baire’a   to jest ona  -mierzalna. I na odwrót, jeśli   jest  -mierzalna, to jest ona klasy Baire’a   dla pewnego  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Baire, R.: Sur les fonctions de variables réelles. „Annali di Mat.” (3) 3 (1899), s. 1–123.
  2. Lebesgue, H.: Sur les fonctions représentables analytiquement. „Journ. de Math.” (6) 1 (1905), s. 139–216.
  3. Banach, S.: Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen. „Fundamenta Mathematicae” 17 (1931), s. 283–295.

BibliografiaEdytuj