Otwórz menu główne

Zbieżność według miary

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.

DefinicjaEdytuj

Teoria miaryEdytuj

Niech   będzie przestrzenią z miarą oraz   Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych   jest zbieżny według miary do funkcji   gdy:

 

Teoria prawdopodobieństwaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech   będą zmiennymi losowymi. Ciąg zmiennych losowych   jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej   jeżeli

 

Ciąg zmiennych losowych   nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej   jeżeli

 
Przypadek wielowymiarowy

Niech   będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych   jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora   jeżeli

 

gdzie   oznacza normę euklidesową w  

UwagiEdytuj

  • Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie.
  • Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych   do stałej   oznacza, że przy   gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości   tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu  
  • Zdanie: „ciąg   jest zbieżny według miary   do funkcji  ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:  

Twierdzenia o zbieżności według miaryEdytuj

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj