Zbieżność według rozkładu

Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem słabą[a] zbieżnością.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech   oznacza dystrybuantę wektora losowego   Ciąg wektorów losowych   jest zbieżny według rozkładu do wektora losowego   jeżeli ciąg dystrybuant   jest słabo zbieżny do dystrybuanty   Wektor losowy   nazywa się wówczas granicą ciągu wektorów losowych   w sensie zbieżności według rozkładu.

UwagiEdytuj

  • Zdanie „ciąg   jest zbieżny według rozkładu do  ”, używając symboliki matematycznej, zapisuje się krótko:
 
  • Granica w sensie zbieżności według rozkładu nie jest wyznaczona jednoznacznie (prawie na pewno). Wynika to stąd, iż jeśli   to dowolny wektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem wektora   jest granicą ciągu   w sensie zbieżności według rozkładu.

Twierdzenie Craméra-WoldaEdytuj

Osobny artykuł: Twierdzenie Craméra-Wolda.

Twierdzenie Craméra-Wolda sprowadza zbieżność według rozkładu wektorów losowych do zbieżności według rozkładu zmiennych losowych.

PrzykładEdytuj

Na przestrzeni probabilistycznej   gdzie   jest jednowymiarową miarą Lebesgue’a określoną na σ-ciele   borelowskich podzbiorów przedziału   określamy ciąg   zmiennych losowych, danych wzorami:

 

Dystrybuanta   zmiennej losowej   jest więc postaci:

 

Ciąg dystrybuant   jest, przy   zbieżny do dystrybuanty   danej wzorem:

 

w każdym punkcie   będącym punktem ciągłości dystrybuanty   Ciąg   jest wobec tego słabo zbieżny do dystrybuanty  

Zgodnie z uwagą, granicą ciągu zmiennych   w sensie zbieżności według rozkładu jest zarówno zmienna losowa   dana wzorem:

 

jak również zmienna losowa   dana wzorem:

 

Reasumując:

  oraz  

UwagiEdytuj

  1. „Słabą”, ponieważ jeżeli ciąg wektorów losowych jest zbieżny według miary lub zbieżny prawie na pewno do pewnego wektora losowego, to jest zbieżny według rozkładu do tego wektora.

BibliografiaEdytuj