Zdarzenia losowe niezależne

(Przekierowano z Zdarzenia niezależne)

Zdarzenia losowe niezależnezdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek

Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia jeśli wiedza na temat zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia

Wychodząc z tych intuicji można korzystając z pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego podać równoważną definicję niezależności zdarzeń

przy założeniu

Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek

dla każdego układu indeksów oraz dla każdego

Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.

Z drugiej strony definiuje się też zdarzenia losowe niezależne parami, co w przypadku (skończonego lub nieskończonego) ciągu zdarzeń ma miejsce wtedy, gdy dowolna para zdarzeń z tego ciągu jest niezależna. Warunek ten jest słabszy od warunku „pełnej” niezależności zdarzeń.

WłasnościEdytuj

  • Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. Mylenie zdarzeń niezależnych z rozłącznymi jest często występującym i bardzo poważnym błędem.
  • Gdy zdarzenia   są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne   też są niezależne oraz:
 

Porównaj: prawa De Morgana.

Niezależność σ-ciałEdytuj

σ-ciała   gdzie   dla   nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych  

 

Jeżeli   to przez   rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie   tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór   Dokładniej, dla  

 

Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia   są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała   są niezależne.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj