Otwórz menu główne

Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)

Zdarzenie losowemierzalny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego (zawierający pojedyncze elementy – zdarzenia elementarne lub dowolną ich liczbę). Zdarzeniem losowym nie będzie podzbiór, który jest niemierzalny, jak np. zbiór Vitalego, zbiór Bernsteina. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na

Różne zdarzenia losowe nie są zwykle równie prawdopodobne, ponieważ mogą zawierać różne zbiory wyników, jakie bierze się pod uwagę. Np. dla rzutu 1 kostką mamy gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek. Zdarzeniami losowymi określonymi na są np.: – zdarzenie, że wypadło sześć oczek, – zdarzenie, że wypadły nie więcej niż dwa oczka, – zdarzenie, że wypadła nieparzysta liczba oczek itp. Zdarzeniom tym przypisane są prawdopodobieństwa proporcjonalne do liczby zdarzeń elementarnych, tworzących poszczególne zdarzenia losowe. Zauważmy, że

Definicja ogólnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią probabilistyczną. Zdarzeniami losowymi nazywamy dowolne zbiory   należące do σ-ciała   utworzonego na przestrzeni zdarzeń elementarnych   Samo σ-ciało   nazywa się zbiorem zdarzeń losowych.

Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Powyższa definicja stosuje się zarówno, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem dyskretnym, jak i gdy jest on zbiorem niepoliczalnym (np. zbiór liczb rzeczywistych)

Podstawowe pojęciaEdytuj

1) Zdarzenie elementarne – pojedynczy wynik eksperymentu losowego.

Np. a) w rzucie 1 kostką zdarzeniami elementarnymi są możliwe różne liczby oczek, uzyskane w pojedynczym rzucie.

b) w rzucie 2 kostkami możliwymi wynikami będą pary uporządkowane liczb, z których pierwsza określa liczbę oczek uzyskaną na pierwszej kostce, a druga – liczbę oczek uzyskaną na drugiej kostce.

2) Przestrzeń zdarzeń elementarnych   – zbiór możliwych wyników eksperymentu losowego.

Np. dla rzutu 1 kostką mamy   gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek.

3) Zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu – zdarzenia elementarne należące do danego zdarzenia losowego. Np. dla zdarzenia   zdarzeniami sprzyjającymi są zdarzenia elementarne      

4) Zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia – zdarzenia będące dopełnieniem danego zdarzenia do zbioru  

Np. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, że wypadła nieparzysta liczba oczek   jest zdarzenie   że wypadła parzysta liczba oczek, tj.  

Dowolność wyboru σ-ciałaEdytuj

Niech eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry.

Wtedy zbiór zdarzeń elementarnych ma postać   Jednak σ-ciało nie są z góry określone. Możemy wybrać różne σ-ciała zdarzeń losowych, np.

  •   – σ-ciało nazywamy zdegenerowanym,, gdyż zawiera tylko zdarzenie niemożliwe   oraz zdarzenie pewne  
  •   – σ-ciało zawiera oprócz zdarzenia niemożliwego i pewnego także zdarzenia   oraz  
  •   – σ-ciało tworzy rodzina wszystkich podzbiorów   tzn. dowolny podzbiór zbioru   należy do σ-ciała (jest to tzw. zbiór potęgowy).

Wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Wybór podyktowany jest postawionym problemem, na który chcemy odpowiedzieć.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.
  • W. Szlenk, Rachunek prawdopodobieństwa, Warszawa 1975.