Otwórz menu główne

Zmienna losowafunkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisująca wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Spis treści

DefinicjaEdytuj

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej   nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną   tzn. funkcję   spełniającą warunek

  dla każdego zbioru borelowskiego  

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np.   lub liter greckich   odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

UogólnieniaEdytuj

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) – i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni   o wartościach w przestrzeni   nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać   gdzie   dla   są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

PrzykładyEdytuj

  • Niech   będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary   gdzie   jest zmienną losową.
Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.
  • Niech dane będą:   σ-ciało   zbiorów borelowskich przedziału   oraz określona na nim miara Lebesgue’a   Każda funkcja ciągła   jest zmienną losową.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 59. ISBN 83-89716-01-1.