Zmienna losowafunkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisująca wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Spis treści

DefinicjaEdytuj

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej   nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną  , tzn. funkcję   spełniającą warunek

  dla każdego zbioru borelowskiego  

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np.   lub liter greckich   odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

UogólnieniaEdytuj

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) – i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni   o wartościach w przestrzeni   nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać  , gdzie   dla   są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

PrzykładyEdytuj

  • Niech   będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary  , gdzie   jest zmienną losową.
Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.
  • Niech dane będą:   σ-ciało   zbiorów borelowskich przedziału   oraz określona na nim miara Lebesgue’a  . Każda funkcja ciągła   jest zmienną losową.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 59. ISBN 83-89716-01-1.