Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna – dziedzina teorii liczb badająca możliwości przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopień dokładności takiego przybliżenia. Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii.

Zgrubnym miernikiem dokładności przybliżenia jest wartość bezwzględna różnicy między daną liczbą rzeczywistą a jej przybliżeniem, subtelniejsze rozważania uwzględniają również wielkość mianownika odpowiedniego ułamka.

Można przyjąć, że pierwsze systematyczne badania w tej dziedzinie mają początek w pracach Liouvilla dotyczących istnienia liczb przestępnych (tzw. liczb Liouville’a). Wcześniej wiedziano sporo na temat przybliżania liczb niewymiernych ułamkami łańcuchowymi, znane było też twierdzenie Dirichleta o aproksymacji, jednak dopiero od Liouville’a zagadnieniom tym poświęcono systematyczną uwagę.

Wyniki Liouville’a, które były efektywne, poprawił Axel Thue i jego następcy, ale stracili oni efektywność: udowodnione w roku 1955 twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha mówi, że jeśli liczba $\alpha$ jest algebraiczna, to dla dowolnego $\varepsilon >0$ nierówność:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<q^{-(2+\epsilon )}$

ma tylko skończenie wiele rozwiązań w liczbach $p$ i $q$ względnie pierwszych i wykładnika po prawej stronie nie da się już zmniejszyć.

Twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha zostało uogólnione na przypadek jednoczesnej aproksymacji skończonego zbioru liczb, przez Wolfanga M. Schmidta, wciąż nieefektywnie, co czyni ten wynik, i jego nieefektywnych poprzedników, mało przydatnymi do obliczeń.

Druga grupa zagadnień badanych w teorii aproksymacji to problematyka równomiernego rozkładu. Podstawowym wynikiem w tym kierunku jest kryterium Weyla, które z kolei pokazuje związek aproksymacji diofantycznej z analityczną teorią liczb. Inne problemy, jakie mogą się tu pojawiać, wiążą się z nieregularnościami rozkładu.

Jak w innych działach teorii liczb, również tu istnieje wiele nierozwiązanych, a prosto sformułowanych problemów. Jednym z nich jest hipoteza Littlewooda (dane z roku 2004), która głosi, że dla dowolnych liczb niewymiernych $\alpha$ i $\beta ;$

$\liminf _{n\to \infty }\ n\cdot \|n\alpha \|\cdot \|n\beta \|=0,$

gdzie $\|x\|$ jest odległością od liczby $x$ do najbliższej liczby całkowitej:

$\|x\|:=\min {\big (}\{x\},1-\{x\}{\big )}.$

Zobacz też

• część ułamkowa