Arytmetyka liczb kardynalnych

Arytmetyka liczb kardynalnych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami kardynalnymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb kardynalnych znacznie różni się od arytmetyki liczb rzeczywistych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że wiele stwierdzeń dotyczących działań na liczbach kardynalnych jest niezależnych od standardowych aksjomatów teorii mnogości (aksjomaty Zermela-Fraenkla).

W dalszej części tego artykułu zakładamy aksjomaty Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru niektóre z definicji należy sformułować inaczej i wiele z prezentowanych faktów nie jest prawdziwych).

Definicje

Pojęcia wstępne

• Liczba porządkowa $\alpha$ jest początkową liczbą porządkową jeśli $\alpha$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
• Przy założeniu teorii ZFC każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalną – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez $|A|.$
• Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to $\aleph _{0},$ moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
• Współkońcowość nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa$ to najmniejsza liczba kardynalna $\mu$ taka, że każdy zbiór mocy $\kappa$ może być przedstawiony jako suma $\mu$ wielu zbiorów mocy mniejszej niż $\kappa {:}$

$\mathrm {cf} (\kappa )=\min\{\mu \in {\mathbf {CN} }:\kappa =\bigcup \limits _{\alpha <\mu }A_{\alpha }$ dla pewnych zbiorów $A_{\alpha }\subseteq \kappa$ takich, że $|A_{\alpha }|<\kappa$ (dla wszystkich $\alpha <\mu$) $\}.$

Jeśli $\mathrm {cf} (\kappa )=\kappa$ to mówimy że $\kappa$ jest regularną liczbą kardynalną. Liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

• Następnik liczby kardynalnej $\kappa$ to pierwsza liczba kardynalna większa od $\kappa$ (jest on oznaczany przez $\kappa ^{+}$).

Działania dwuargumentowe

Określamy następujące działania dwuargumentowe na liczbach kardynalnych. Niech $\kappa ,\mu$ będą liczbami kardynalnymi.

• Dodawanie liczb kardynalnych – sumą liczb $\kappa$ i $\mu$ nazywamy moc sumy rozłącznych kopii $\mu$ i $\kappa {:}$

$\mu +\kappa =|(\mu \times \{0\})\cup (\kappa \times \{1\})|.$

• Mnożenie liczb kardynalnych – iloczynem liczb $\kappa$ i $\mu$ nazywamy moc iloczynu kartezjańskiego zbiorów $\kappa$ i $\mu {:}$

$\kappa \cdot \mu =\vert \kappa \times \mu \vert .$

• Potęgowanie liczb kardynalnych – przez $\kappa ^{\mu }$ rozumiemy moc zbioru wszystkich funkcji z $\mu$ w $\kappa {:}$

$\kappa ^{\mu }=|{}^{\mu }\kappa |.$

• Definiujemy również słabą potegę $\kappa ^{<\mu }$ jako

$\kappa ^{<\mu }=\sup\{\kappa ^{\lambda }:\lambda \in {\mathbf {CN} }\ \wedge \ \lambda <\mu \}.$

Działania nieskończone

Niech $\{\kappa _{i}:i\in I\}$ będzie rodziną indeksowaną liczb kardynalnych. Określamy

sumę $\sum \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\left|\bigcup \{\kappa _{i}\times \{i\}:i\in I\}\right|$ oraz

produkt $\prod \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\left|\left\{f:f:I\longrightarrow \bigcup \limits _{i\in I}\kappa _{i}\ \wedge \ (\forall i\in I)(f(i)\in \kappa _{i})\right\}\right|.$

Przykłady wyników klasycznych

• Dla każdych niezerowych liczb kardynalnych $\kappa ,\mu ,\lambda$ mamy:

1. Jeśli $\aleph _{0}\leqslant \kappa ,$ to $\kappa +\mu =\max(\kappa ,\mu )=\kappa \cdot \mu .$
2. Jeśli $1\leqslant \kappa \leqslant \mu ,$ to $\kappa ^{\lambda }\leqslant \mu ^{\lambda }$ oraz $\lambda ^{\kappa }\leqslant \lambda ^{\mu }.$
3. Jeśli $1<\kappa <\aleph _{0}\leqslant \lambda ,$ to $\kappa ^{\lambda }=\lambda ^{\lambda }$ oraz $\lambda ^{\kappa }=\lambda .$
4. $2^{\kappa }$ jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów $\kappa .$ Jeśli $2\leqslant \mu \leqslant \kappa$ oraz $\kappa$ jest nieskończona, to $\kappa ^{\mu }=\left|\left\{A\subseteq \kappa :|A|=\mu \right\}\right|$ oraz $\kappa ^{<\mu }=\left|\left\{A\subseteq \kappa :|A|<\mu \right\}\right|.$
5. $(\kappa ^{\mu })^{\lambda }=\kappa ^{\mu \cdot \lambda },$ $\kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\lambda }=\kappa ^{\mu +\lambda },$ i $(\kappa \cdot \mu )^{\lambda }=\kappa ^{\lambda }\cdot \mu ^{\lambda }$
6. Jeśli $\kappa ,\mu$ są nieskończone, to $(\kappa ^{+})^{\mu }=\kappa ^{+}\cdot \kappa ^{\mu }$ (twierdzenie Hausdorffa).
7. Jeśli $\kappa$ jest nieskończone, to $\kappa <\kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}$ oraz $\kappa <\mathrm {cf} (2^{\kappa }).$

• Przypuśćmy, że $\{\kappa _{i}:i\in I\},$ $\{\mu _{i}:i\in I\}$ są rodzinami niezerowych liczb kardynalnych, $I\neq \emptyset .$

1. $\sum \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\max \left(|I|,\sup\{\kappa _{i}:i\in I\}\right).$ Jeśli więc $|I|\leqslant \sup\{\kappa _{i}:i\in I\}$ to $\sum \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\sup\{\kappa _{i}:i\in I\}.$ Ostatnia równość zachodzi w szczególności gdy $\kappa _{i}\neq \kappa _{j}$ dla różnych $i,j\in I.$
2. Jeśli $\kappa _{i}<\mu _{i}$ dla wszystkich $i\in I,$ to $\sum \limits _{i\in I}\kappa _{i}<\prod \limits _{i\in I}\mu _{i}$ (twierdzenie Königa).

GCH i SCH

• Uogólniona hipoteza continuum (GCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej liczby kardynalnej $\kappa$ zachodzi $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$. Przy założeniu GCH arytmetyka kardynalna bardzo się upraszcza:

Załóżmy GCH. Wówczas dla każdych liczb kardynalnych $\kappa \geqslant 2$ oraz $\lambda \geqslant \aleph _{0}$ mamy

$\kappa$

jeśli

$\lambda <\mathrm {cf} (\kappa ),$

$\kappa$

jeśli

$\lambda \leqslant \mathrm {cf} (\kappa ),$

$\kappa ^{\lambda }=$

$\kappa ^{+}$

jeśli

$\mathrm {cf} (\kappa )\leqslant \lambda <\kappa ,$

oraz

$\kappa ^{<\lambda }=$

$\kappa ^{+}$

jeśli

$\mathrm {cf} (\kappa )<\lambda \leqslant \kappa ^{+},$

$\lambda ^{+}$

jeśli

$\kappa \leqslant \lambda ,$

$\lambda$

jeśli

$\kappa ^{+}<\lambda .$

• Hipoteza liczb singularnych (ang. singular cardinal hypothesis, SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa ,$ jeśli $2^{\mathrm {cf} (\kappa )}<\kappa$ to $\kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}=\kappa ^{+}$. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję $\kappa \mapsto 2^{\kappa }.$

Załóżmy SCH. Wówczas dla każdych nieskończonych liczb kardynalnych $\kappa ,\lambda$ mamy

			$\kappa$		jeśli		$2^{\lambda }<\kappa$ oraz $\lambda <\mathrm {cf} (\kappa ),$
	$\kappa ^{\lambda }=$		$\kappa ^{+}$		jeśli		$2^{\lambda }<\kappa$ oraz $\mathrm {cf} (\kappa )\leqslant \lambda ,$
			$2^{\lambda }$		jeśli		$\kappa \leqslant 2^{\lambda }.$

Ponadto, jeśli $\kappa$ jest liczbą singularną to

(a) jeśli dla pewnej liczby kardynalnej $\mu <\kappa$ mamy iż $(\forall \lambda \in [\mu ,\kappa ))(2^{\lambda }=2^{\mu }),$ to $2^{\kappa }=2^{<\kappa },$

(b) jeśli założenie punktu (a) nie jest spełnione, to $2^{\kappa }=\left(2^{<\kappa }\right)^{+}.$

• Warto zauważyć, że GCH jest niezależne od ZFC (czyli nie można tego zdania udowodnić, ale nie można też udowodnić jego zaprzeczenia). Łatwo można się przekonać, że GCH implikuje SCH. Ciekawym wynikiem odkrytym niedawno jest, że PFA również implikuje SCH. Naruszenia SCH związane są z dużymi liczbami kardynalnymi.

Przykłady wyników zaawansowanych

• Rozwijając metodę forsingu, w 1970 roku William Easton udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że $\kappa <\mathrm {cf} ({\mathbf {F} }(\kappa ))$ dla wszystkich regularnych $\kappa .$ Wówczas (przy założeniu, że ZFC jest niesprzeczne) jest niesprzecznym z ZFC, że $2^{\kappa }={\mathbf {F} }(\kappa )$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych $\kappa .$
• Jeśli $\kappa$ jest liczbą mierzalną oraz $2^{\lambda }=\lambda ^{+}$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\lambda <\kappa ,$ to również $2^{\kappa }=\kappa ^{+}.$
• Jeśli zbiór $\{\alpha <\omega _{1}:\aleph _{\alpha }^{\aleph _{1}}<\aleph _{\alpha +\alpha }\}$ jest stacjonarny w $\omega _{1},$ to $\aleph _{\omega _{1}}^{\aleph _{1}}<\aleph _{\omega _{1}+\omega _{1}}.$
• Jeśli $\aleph _{1}\leqslant \mathrm {cf} (\kappa )<\kappa$ oraz zbiór $\{\mu <\kappa :2^{\mu }=\mu ^{+}\}$ jest stacjonarny w $\kappa ,$ to $2^{\kappa }=\kappa ^{+}.$
• W latach 90. XX wieku Saharon Szelach rozwinął teorię PCF, która stała się jednym z głównych kierunków badań we współczesnej arytmetyce liczb kardynalnych. Wyniki tej teorii wykazują, że pomimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych, wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zadajemy właściwe pytania. Z wyników teorii pcf można wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych, np. że $\aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}\leqslant 2^{\aleph _{0}}+\aleph _{\omega _{4}}.$
• W głębszym zrozumieniu arytmetyki liczb kardynalnych pomoże książka Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego lub monografia Thomasa Jecha lub monografia M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza