Całka Pettisa

Całka Pettisa a. Gelfanda-Pettisa – rozszerzenie pojęcia całki na funkcje o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych poprzez sprowadzenie do zagadnienia całkowalności złożeń funkcji z ciągłymi funkcjonałami liniowymi na rozważanej przestrzeni. W tym wypadku, zagadnienie całkowalności w sensie Pettisa zależy od trzech czynników: własności przestrzeni z miarą na której określona jest funkcja, własności samej przestrzeni wartości oraz postaci ciągłych funkcjonałów liniowych. Należy mieć na uwadze, że całkowalnść w sensie Pettisa jest tylko jednym z możliwych uogólnień całkowalności na funkcje o wartościach wektorowych. Do innych tego rodzaju uogólnień należą m.in. całka Birkhoffa, całka McShane’a, całka Dunforda czy całka Bochnera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematyków I. M. Gelfanda i B.J. Pettisa.

Definicja edytuj

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną z nietrywialną przestrzenią sprzężoną $X^{*}.$ O funkcji $f\colon \Omega \to X$ mówi się, że jest całkowalna w sensie Pettisa, gdy dla każdego zbioru $A\in {\mathcal {A}}$ oraz wszelkich funkcjonałów $x^{*}\in X^{*}$ istnieje taki element $x_{A}$ przestrzeni $X,$ że

\langle x^{*},x_{A}\rangle =\int _{A}\langle x^{*},f(t)\rangle \mu ({\mbox{d}}\,t).

Punkt $x_{A},$ we wzorze powyżej, nazywany jest całką Pettisa z funkcji $f$ na zbiorze $A$ względem miary $\mu$ i oznaczany symbolem

x_{A}=(P)\int _{A}f{\mbox{d}}\mu .

Każda funkcja $f$ całkowalna w sensie Pettisa jest również słabo mierzalna, to znaczy dla każdego $x^{*}\in X^{*}$ funkcja

x^{*}\circ f

jest mierzalna w ciele skalarów.

W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią Banacha, funkcja

{\mathcal {A}}\ni A\mapsto (P)\int _{A}f{\mbox{d}}\mu

jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną, nazywaną całką nieoznaczoną Pettisa z funkcji $f.$

W przypadku funkcji o wartościach w przestrzeniach refleksywnych pojęcia całkowalności w sensie Pettisa i w sensie Dunforda pokrywają się.

Przykłady edytuj

Przykład funkcji całkowalnej w sensie Pettisa, której norma nie jest całkowalna.

Niech $X$ będzie przestrzenią Hilberta oraz $\{e_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}$ będzie ciągiem ortonormalnym punktów tej przestrzeni. Funkcja $f\colon [0,\infty )\to X$ dana wzorem

f(t)={\frac {1}{n}}e_{n},\,t\in [n,n+1),\,n\in \mathbb {N}

jest całkowalna w sensie Pettisa względem miary Lebesgue’a natomiast

\int _{0}^{\infty }\|f(t)\|dt=\infty .

Przykład funkcji niecałkowalnej

Funkcja $f\colon [0,1]\to c_{0},$ dana wzorem

f(t)=\left(n\cdot \mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\right)_{n\in \mathbb {N} }

nie jest całkowalna w sensie Pettisa. Istotnie, niech $x^{*}\in c_{0}^{*}$ oraz niech $y=(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie odpowiadającym mu elementem z przestrzeni $\ell ^{1}$ (zob. twierdzenie Riesza dla przestrzeni $c_{0}$ ).

\int _{0}^{1}|x^{*}f(t)|dt=\int _{0}^{1}\left|\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}n\mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\right|\,dt\leqslant \int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|n\mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|n\cdot {\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|<\infty .

Gdyby istniała całka $(P)\int _{0}^{1}f(t)\,dt=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{0},$ to

x_{n}=\int _{0}^{1}x_{n}^{*}f(t)\,dt=\int _{0}^{1}n\cdot \mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\,dt=1,\,n\in \mathbb {N} ,

gdzie $x_{n}^{*}\in c_{0}^{*}$ przyporządkowuje elementowi przestrzeni $c_{0}$ jego $n$ -ty wyraz.

Pettis Integral Property edytuj

Niech $\mu$ będzie miarą skończoną na przestrzeni $\Omega .$ Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność $\mu$ -PIP (Pettis Integral Property), gdy każda funkcja słabo mierzalna i $\mu$ -p.w. słabo ograniczona $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Pettisa względem $\mu .$ W szczególności, używa się zapisu Lebesgue-PIP w przypadku miary Lebesgue’a na odcinku jednostkowym. Mówi się, że przestrzeń Banacha ma własność PIP, gdy ma własność $\mu$ -PIP dla każdej miary skończonej $\mu .$

Nie każda przestrzeń Banacha ma własność PIP. Na przykład przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przestrzeni zwartej $\omega _{1}+1=[0,\omega _{1}],$ gdzie $\omega _{1}$ oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową, nie ma własności $\mu$ -PIP dla pewnej miary Baire’a na σ-algebrze swoich podzbiorów mających własność Baire’a w sensie słabej topologii^[1]. Istnieją przestrzenie $X$ (np. tzw. długa przestrzeń Jamesa) takie, że $X$ i $X^{*}$ mają własność Radona-Nikodýma (RNP), ale one same nie mają własności PIP^[2]. Pod założeniem hipotezy continuum (CH) albo negacji CH i aksjomatu Martina długa przestrzeń Jamesa nie ma własności Lebesgue-PIP.

Jeżeli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP^[3].
Jeżeli $\nu$ jest miarą, która nie jest ośrodkowa, to przestrzeń $L^{\infty }(\nu )$ ze słabą topologią nie jest przestrzenią Hewitta^[4]. Oznacza to, że istnieje miara $\mu$ o wartościach tylko 0 lub 1 dla której $L^{\infty }(\nu )$ nie ma własności $\mu$ -PIP^[5].

Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa edytuj

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz $X$ będzie przestrzenią Banacha. W przestrzeni ${\mathcal {P}}(\mu ,X)$ wszystkich funkcji (klas równoważności $\mu$ -p.w.) całkowalnych w sensie Pettisa $f\colon \Omega \to X,$ funkcjonał określony wzorem

\|f\|=\sup \left\{\int _{\Omega }|x^{*}f(t)|\,\mu (dt)\colon \,x^{*}\in X^{*},\,\|x^{*}\|\leqslant 1\right\}

jest normą. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeżeli $f\in {\mathcal {P}}(\mu ,X),$ to

\left\|(P)\int _{\Omega }f\,d\mu \right\|\leqslant \|f\|.

W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to ${\mathcal {P}}(\mu ,X)$ nie jest przestrzenią zupełną (przestrzenią Banacha), jest natomiast przestrzenią beczkowatą^[6] (a zatem prawdziwe są w stosunku niej pewne wersje twierdzenia Banacha-Steinhausa i twierdzenia o wykresie domkniętym).

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

↑ G.A. Edgar, Measurability in a Banach space I, Indiana Univ. Math. J., 26 (1977), s. 663–667.
↑ G.A. Edgar, A long James space, Proceedings of the Conference on Measure Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 794, Springer, Berlin, New York, 1980.
↑ D.H. Fremlin, M. Talagrand, A decomposition theorem for additive set-functions, with applications to Pettis integrals and ergodic means, Math. Z., 168 (1979), s. 117–142.
↑ R. Frankiewicz, G. Plebanek, Nonaccessible filters in measure algebras and functionals on $L^{\infty }(\lambda )^{*}.$ Studia Math. 108 (1994), s. 191–200.
↑ G.A. Edgar, Measurability in a Banach space II, Indiana Univ. Math. J., 28 (1979), s. 559–579.
↑ L. Drewnowski, M. Florencio, P.J. Paúl, The space of Pettis integrable functions is barrelled, Proc. Amer. Math. Soc. 114 (1992), s. 687–694.

Bibliografia edytuj

J.K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. pełny tekst
J. Diestel, J.J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977
I. M. Gelfand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
K. Musial, Topics in the theory of Pettis integral, Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Universita di Trieste, XXIII (1991), 177-262
K. Musial, Pettis Integral, Handbook of Measure Theory I, North-Holland 2002, 531-586
M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)

[1] G.A. Edgar, Measurability in a Banach space I, Indiana Univ. Math. J., 26 (1977), s. 663–667.

[2] G.A. Edgar, A long James space, Proceedings of the Conference on Measure Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 794, Springer, Berlin, New York, 1980.

[3] D.H. Fremlin, M. Talagrand, A decomposition theorem for additive set-functions, with applications to Pettis integrals and ergodic means, Math. Z., 168 (1979), s. 117–142.

[4] R. Frankiewicz, G. Plebanek, Nonaccessible filters in measure algebras and functionals on $L^{\infty }(\lambda )^{*}.$ Studia Math. 108 (1994), s. 191–200.

[5] G.A. Edgar, Measurability in a Banach space II, Indiana Univ. Math. J., 28 (1979), s. 559–579.

[6] L. Drewnowski, M. Florencio, P.J. Paúl, The space of Pettis integrable functions is barrelled, Proc. Amer. Math. Soc. 114 (1992), s. 687–694.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]