Funkcja Wignera

Funkcja Wignera – w mechanice kwantowej funkcja skonstruowana z funkcji falowej dająca informacje na temat rozkładu pędu i położenia stanu kwantowego w przestrzeni fazowej i umożliwiająca bezpośrednie porównanie rozwiązań równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej z rozwiązaniami równań Hamiltona w sensie rozkładu statystycznego gęstości prawdopodobieństwa warunków początkowych. W tym sensie wyraża ona ewolucje czasową zbioru trajektorii klasycznych odpowiadających stanowi kwantowemu zaburzonych przez mechanike kwantową jeśli tylko jest wszędzie dodatnia. Jednak w odróżnieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa warunków początkowych w przestrzeni fazowej istnieją stany dla których przyjmuje ona ujemne wartości, tzn. nie mają one jasnego odpowiednika w klasycznym rozkładzie warunków początkowych (pojawia się ujemne prawdopodobieństwo).

Konstrukcja funkcji Wignera polega na znalezieniu takiej funkcji $W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t),$ dla której

$\int d^{3}p\ W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\mid \psi (\mathbf {r} ,t)\mid ^{2}=\rho (\mathbf {r} ,t),$

$\int d^{3}r\ W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\mid {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} ,t)\mid ^{2}{\frac {1}{h^{3}}}=\rho _{p}(\mathbf {p} ,t).$

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie $\mathbf {r}$ równa jest całce z funkcji $W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ po zmiennej pędowej, zaś gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie $\mathbf {p}$ równa jest całce z funkcji $W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ po zmiennej położeniowej.

Wigner zauważył, że związki te spełnia następująca biliniowa forma (definicja funkcji Wignera):

$W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)={\frac {1}{h^{3}}}\int d^{3}\lambda \ \psi ^{*}(\mathbf {r} -{\frac {\boldsymbol {\lambda }}{2}},t)\psi (\mathbf {r} +{\frac {\boldsymbol {\lambda }}{2}},t)e^{-{\frac {i}{h}}\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\lambda }}}.$

Funkcja Wignera zdefiniowana poprzez funkcje falowe jest użyteczna wyłącznie dla stanów czystych. Aby pozbyć się tego ograniczenia można zdefiniować funkcję Wignera w sposób ogólniejszy

$W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\int d^{3}u\ e^{-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {u} }\langle \mathbf {r} -{\frac {1}{2}}\mathbf {u} |{\hat {\rho }}|\mathbf {r} +{\frac {1}{2}}\mathbf {u} \rangle ,$

gdzie ${\hat {\rho }}$ jest macierzą gęstości.

Działanie funkcji Wignera widać najlepiej dla dobrze zlokalizowanyh paczek falowych mających skończony pęd np. dla cząstki swobodnej w jednym wymiarze przestrzennym ze współrzędna $\mathbf {r} =x$ opisanej funkcją falową $\psi (x)=Ne^{ikx}e^{-{\frac {x^{2}}{2a^{2}}}}.$ Czynnik $1/2$ mnożący $\lambda$ pojawiający się w symetrycznym wyrażeniu podobnym do splotu funkcji ma podwójne działanie. Wykrywa duże czynniki fazowe pędu w funkcji falowej oraz skaluje gęstość przestrzenną do jej transformaty Fouriera tak aby wyprodukować prawidłową nieoznaczoność pędu. Jeśli gaussowska paczka falowa z fazą zespoloną $ikx$ reprezentującą pęd zlokalizowana jest np. wokoło punktu $x=0$ wtedy jest parzysta w sensie modułu w $\lambda$ tzn. $|\psi (-\lambda /2)|=|\psi (\lambda /2)|$ a znak minus z $\lambda /2$ w argumencie funkcji falowej znosi się ze sprzężeniem zespolonym $*$ produkując całkowity czynnik fazowy pędu w $2\times \lambda /2ik=\lambda ik.$ Dla $x=0$ funkcja Wignera jest więc transformatą Fouriera czynnika fazowego pędu pomnożonego przez przeskalowaną (poszerzoną) gaussowską gęstość przestrzenną w $\lambda /2$ więc jest też funkcją Gaussa z maksimum w okolicy wartości tego pędu. Natomiast dla skończonego $x$ cała funkcja pomnożona jest przez gaussowską gęstość przestrzenną w $x$ niezależną od $\lambda$ co znaczy, że funkcja Wignera w przestrzeni fazowej zlokalizowana jest zarówno w około lokalizacji przestrzennej cząstki jak i lokalizacji w przestrzeni pędu, tzn. wokoło wartości pędu z czynnika fazowego. Natomiast transformata Fouriera gęstości przestrzennej nie jest kwadratem transformaty Fouriera modułu Gaussowskiej funkcji falowej dającej rozkład pędu i przed transformatą potrzebne jest jej przeskalowanie.

Dla gaussowskiej funkcji falowej cząstki swobodnej o pędzie $k$ $(\hbar =1)$

$\psi (x)=Ne^{ikx}e^{-{\frac {x^{2}}{2a^{2}}}}.$

Funkcja Wignera jest po prostu dana przez

$W(x,p)=2N(\pi a)^{1/2}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}e^{-{a^{2}}(p-k)^{2}}.$

czyli jest iloczynem funkcji Gaussa pędu i funkcji Gaussa położenia o rozmyciach $a^{2}$ i $1/{a^{2}}$ jednym będącym odwrotnością drugiego (zasada nieoznaczoności Heisenberga).

Bibliografia

• W.P. Schleich: Quantum Optics in Phase Space. Berlin: Wiley-Vch, 2001.brak strony w książce