Granica niewłaściwa funkcji

Granica niewłaściwa funkcji – pojęcie analizy matematycznej definiowane analogicznie do granicy funkcji – w punkcie lub nieskończoności; granica niewłaściwa nie jest liczbą rzeczywistą ani zespoloną w ścisłym, skończonym sensie, lecz elementem pewnych rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych zwykle za zbiór granic przyjmuje się rozszerzenie afiniczne, to znaczy wyróżnia się dwie możliwe granice niewłaściwe: dodatnią lub ujemną. Granice niewłaściwe występują dla niektórych funkcji nieograniczonych.

Wartość bezwzględna – prosty przykład funkcji, która ma granice niewłaściwe w nieskończoności; konkretniej w obu nieskończonościach ma granicę niewłaściwą dodatnią (+∞).
Funkcja ma w zerze (punkcie ) granicę niewłaściwą dodatnią.
Funkcja odwrotności y=1/x nie ma nigdzie granic niewłaściwych, jednak ma w zerze niewłaściwe granice jednostronne – z prawej strony dodatnią, a z lewej ujemną.

Niewłaściwe granice w nieskończoności dotyczą m.in. wszystkich funkcji nieograniczonych monotonicznych[potrzebny przypis]. Z kolei granice niewłaściwe w punkcie definiuje się na końcach przedziałów otwartych określoności funkcji, czyli w punktach skupienia jej dziedziny spoza tej dziedziny. Punkty z granicą niewłaściwą bywają zaliczane do punktów nieciągłości funkcji, konkretniej do nieciągłości nieusuwalnych.

Definicje Heinego edytuj

Definicje sformułowane przez Heinego.

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności edytuj

Niech funkcja   będzie określona na przedziale     Liczba   jest granicą właściwą funkcji   w   co zapisujemy

 

wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w minus nieskończoności edytuj

Niech funkcja   będzie określona na przedziale     Liczba   jest granicą właściwą funkcji   w   co zapisujemy

 

wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności edytuj

Niech funkcja   będzie określona na przedziale     Funkcja   ma w   granicę niewłaściwą   co zapisujemy

 

wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w minus nieskończoności edytuj

Niech funkcja   będzie określona na przedziale     Funkcja   ma w   granicę niewłaściwą   co zapisujemy

 

wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w nieskończoności edytuj

Niech funkcja   będzie określona na przedziale     Funkcja   ma w   granicę niewłaściwą   co zapisujemy

 

wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w minus nieskończoności edytuj

Niech funkcja   będzie określona na przedziale     Funkcja   ma w   granicę niewłaściwą   co zapisujemy

 

wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Linki zewnętrzne edytuj