Gwiazda Pełczyńskiego

Gwiazda Pełczyńskiego (gwiazda naprężeń) – graficzna reprezentacja stanu naprężenia, opracowana przez profesora Politechniki Warszawskiej Tadeusza Pełczyńskiego. Gwiazda Pełczyńskiego pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń głównych i maksymalnych naprężeń stycznych.

Konstrukcja

Konstrukcja gwiazdy Pełczyńskiego

Skonstruowanie gwiazdy Pełczyńskiego możliwe jest po wyznaczeniu niezmienników stanu naprężenia, oznaczonych przez $\sigma _{\text{m}},$ $\sigma _{\text{H}}$ oraz $\omega$. Konstrukcja polega na wyrysowaniu w układzie $\sigma -\tau$ okręgu o środku w punkcie $(\sigma _{\text{m}},0)$ i promieniu ${\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}.$ Następnie z punktu $(\sigma _{\text{m}},0)$ do okręgu prowadzone są trzy odcinki nachylone pod kątami odpowiednio $\omega ,$ $\omega -120^{\circ },$ $\omega -240^{\circ }.$ Rzutowanie na oś poziomą punktów wyznaczonych przez przecięcie odcinków oraz okręgu definiuje wartości naprężeń głównych.

Teoria

Poszukiwane naprężenia główne są pierwiastkami równania

$\sigma ^{3}-3\sigma _{\text{m}}\sigma ^{2}+N_{1}\sigma -N_{2}=0,$

(1)

w którym

$\sigma _{\text{m}}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}+\sigma _{z}}{3}},$

$N_{1}=\sigma _{x}\sigma _{y}+\sigma _{y}\sigma _{z}+\sigma _{z}\sigma _{x}-\tau _{xy}^{2}-\tau _{yz}^{2}-\tau _{zx}^{2},$

Gwiazdy naprężeń dla najprostszych przypadków obciążenia

$N_{2}=\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z}+2\tau _{xy}\tau _{yz}\tau _{zx}-\sigma _{x}\tau _{yz}^{2}-\sigma _{y}\tau _{zx}^{2}-\sigma _{z}\tau _{xy}^{2}.$

Równanie (1) można rozwiązać stosując podstawienie

$\sigma =S+\sigma _{\text{m}}.$

(2)

Wtedy równanie (1) przyjmuje postać

$S^{3}\underbrace {-(3\sigma _{\text{m}}^{2}-N_{1})} _{a}S\underbrace {-(2\sigma _{\text{m}}^{3}-\sigma _{\text{m}}N_{1}+N_{2})} _{b}=0.$

Pierwiastkami powyższego równania są

${\begin{aligned}&S_{1}=2{\sqrt {-{\frac {a}{3}}}}\cos(\omega )={\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega ),\\&S_{2}=2{\sqrt {-{\frac {a}{3}}}}\cos(\omega -120^{\circ })={\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega -120^{\circ }),\\&S_{3}=2{\sqrt {-{\frac {a}{3}}}}\cos(\omega -240^{\circ })={\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega -240^{\circ }),\end{aligned}}$

(3)

przy czym

$\cos(3\omega )={\frac {-b}{2{\sqrt {\left(-{\frac {a}{3}}\right)^{3}}}}}={\frac {2\sigma _{\text{m}}^{3}-\sigma _{\text{m}}N_{1}+N_{2}}{2{\sqrt {\left({\frac {3\sigma _{\text{m}}^{2}-N_{1}}{3}}\right)^{3}}}}},$

oraz

$\sigma _{\text{H}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {(\sigma _{x}-\sigma _{y})^{2}+(\sigma _{y}-\sigma _{z})^{2}+(\sigma _{z}-\sigma _{x})^{2}+6(\tau _{xy}^{2}+\tau _{yz}^{2}+\tau _{zx}^{2})}}.$

Po podstawieniu (3) do (2) otrzymano

${\begin{aligned}&\sigma _{1}=\sigma _{\text{m}}+{\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega ),\\&\sigma _{2}=\sigma _{\text{m}}+{\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega -120^{\circ }),\\&\sigma _{3}=\sigma _{\text{m}}+{\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega -240^{\circ }).\end{aligned}}$

(4)

Należy zaznaczyć, że $\sigma _{\text{m}},$ $\sigma _{\text{H}}$ oraz $\omega$ są niezmiennikami stanu naprężenia.

Przy przyjęciu układu współrzędnych, zgodnego z kierunkami naprężeń głównych, niezmienniki opisane są wzorami

${\begin{aligned}&\sigma _{\text{m}}={\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}}{3}},\\&\sigma _{\text{H}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}}},\end{aligned}}$

natomiast

$\cos(\omega )={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{\text{m}}}{{\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}}}.$

Postać wzorów (4) definiuje bezpośrednio graficzną interpretację, przedstawioną powyżej.

Zobacz też

• koło Mohra
• Tadeusz Pełczyński