Indykatrysa

Indykatrysa (fr. indicatrice) – (wskaźnik) krzywa dla wykresu dwuwymiarowego, a powierzchnia dla trójwymiarowego, obrazująca rozkład jakiejś własności badanego obiektu w zależności od kierunku. Indykatrysa jest powierzchnią izomorficzną ze sferą (okręgiem) w przestrzeni wykresu.

Indykatrysa luminancji żarówki

Indykatrysa kryształu jednoosiowego

Przykłady

Optyka

W optyce indykatrysa to wykres przedstawiający zależności kątowe danej wielkości optycznej albo kątowe własności optyczne ciała. Przykładowo indykatrysa rozproszenia przedstawia stosunek natężenia światła rozproszonego pod danym kątem do natężenia światła padającego. Indykatrysy używane są jeżeli opis matematyczny zależności kątowych danej wielkości jest skomplikowany albo nieznany. Są też używane jako wyniki pomiarów do porównywania i systematyzacji wyników pomiarów. Przykładowo w krystalografii umożliwia określenie struktury kryształów, gdyż dla kryształów jednosiowych jest elipsoidą obrotową, dla dwuosiowych – elipsoidą trójosiową.

Geometria Finslera

Jeżeli $(V,\Phi )$ jest przestrzenią Minkowskiego to indykatrysa $S_{\Phi }$ jest zbiorem zdefiniowanym jako domknięta hiperpowierzchnia, która jest dyfeomorficzna ze standardową sferą $\mathbb {S} ^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}$

$S_{\Phi }:=\{y\in V:\Phi (x,y)=1\}$.

Indykatrysa jest matematycznym uogólnieniem problemu nawigacji Zermelo, czyli wyznaczenia na mapie (2D) optymalnej drogi (najkrótszego czasu) turysty poruszającego się w górzystym terenie (2D), przy czym prędkość ruchu (ta na mapie) jest zależna od nachylenia terenu. Podobny problem w przestrzeni trójwymiarowej dotyczy doboru trasy lotu samolotu, który musi dolecieć do punktu na określonej wysokości. W takim przypadku dla każdego punktu, w którym jest turysta (samolot), zamiast metryki będącej okręgiem (sferą) wprowadza się linię (powierzchnię), taką że odległość od punktu do linii określa szybkość poruszania się w danym kierunku. W obu sytuacjach drogą optymalną przy wchodzeniu na górę w kształcie stożka (wznoszeniu się do danego punktu) jest spirala wokół szczytu.

Indykatrysa Banacha

Jeżeli $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ jest dowolną funkcją, to indykatrysą Banacha nazywamy funkcję $g\colon \mathbb {R} \to \{0\}\cup \mathbb {N} \cup \{\infty \},$ określoną jako

${\text{g}}(x)={\begin{cases}{\text{card}}f^{-1}(\{y\})&{\text{jeśli }}f^{-1}(\{y\}){\text{ jest zbiorem skończonym}}\\+\infty &{\text{jeśli }}f^{-1}(\{y\}){\text{ jest zbiorem nieskończonym}}\end{cases}}$