Kryterium Cauchy’ego

Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$

(A)

o wyrazach nieujemnych.

• Jeżeli

$\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1,$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli

$\liminf _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1,$

to szereg (A) jest rozbieżny.

Wersja graniczna kryterium

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

$C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}},$

to

• gdy $C<1,$ szereg (A) jest zbieżny, oraz
• gdy $C>1,$ szereg (A) jest rozbieżny.

Dowód

W przypadku, gdy

$\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<1$

istnieją takie liczby $m$ i $q\in (0,1),$ że

${\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leqslant q$

dla każdego $n>m.$ To oznacza, że dla $n>m$ zachodzi nierówność

$a_{n}\leqslant q^{n},$

czyli

$a_{m+1}+a_{m+2}+a_{m+3}+\dots \leqslant q^{m+1}+q^{m+2}+q^{m+3}+\ldots <\infty ,$

co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu (A).

W przypadku, gdy

$\liminf _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1$

istnieje taka liczba $m,$ że dla $n>m$ zachodzi nierówność

${\sqrt[{n}]{a_{n}}}\geqslant 1,$

a więc spełniona jest także nierówność

$a_{n}\geqslant 1.$

Oznacza to, że szereg (A) jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

Przykład zastosowania

Rozważmy szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}.$

(B)

Wówczas

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n}{2^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n}}{\sqrt[{n}]{2^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n}}{2}}={\frac {1}{2}}<1.$

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (B) jest zbieżny.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności

Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg (A) jest zbieżny, gdy

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=1.$

Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (a_n), (b_n), gdzie

$a_{n}={\frac {1}{n}},\;b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}.$

Wówczas

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{b_{n}}}=1$

(korzystamy z faktu, że $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$). Jednak (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ jest zbieżny (zob. problem bazylejski).

Porównanie z kryterium d’Alemberta

Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg (A) o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodzi. Istotnie, załóżmy, że szereg (A) spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<1.$

Wówczas istnieją liczba $k\in \mathbb {N}$ oraz $\rho <1$ taka, że

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant \rho$

dla dowolnego $n\geqslant k.$ Wówczas $a_{k+n}\leqslant \rho ^{n}a_{k}$ dla każdego $n\geqslant k.$ Zatem

$\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{k+n}]{a_{k+n}}}\leqslant \limsup _{n\to \infty }(\rho ^{n}a_{k})^{\frac {1}{k+n}}=\lim _{n\to \infty }\rho ^{\frac {n}{k+n}}\lim _{n\to \infty }a_{k}^{\frac {1}{k+n}}=\rho \cdot 1=\rho <1.$

Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.

Niech dany będzie szereg

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+...$

Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci

$a_{2n}=a_{2n-1}={\frac {1}{4^{n}}}.$

Zauważmy, że

${\sqrt[{2n}]{a_{2n}}}={\sqrt[{2n}]{\frac {1}{4^{n}}}}={\frac {1}{2}}$

oraz

${\sqrt[{2n-1}]{a_{2n}}}={\sqrt[{2n-1}]{\frac {1}{4^{n}}}}={\frac {1}{(4^{n})^{\frac {1}{2n-1}}}}\to {\frac {1}{2}}.$

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (A) jest zbieżny. Z drugiej strony

${\frac {a_{2n}}{a_{2n-1}}}=1\quad (n\in \mathbb {N} ),$

co pokazuje, że szereg (A) nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.brak strony w książce

Literatura dodatkowa

• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
• Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Root Test, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].