Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych
Kryterium Dirichleta – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych udowodnione przez Petera Gustawa Dirichleta. Kryterium to może być postrzegane jako szczególny przypadek kryterium Dirichleta zbieżności szeregów funkcyjnych.
Kryterium edytuj
Niech będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli
- ciąg sum częściowych
- jest ograniczony,
- jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do 0,
to szereg
jest zbieżny[1].
Dowód edytuj
Niech oznacza ciąg sum częściowych ciągu tj.
Z ograniczności ciągu wynika istnienie takiej liczby że dla każdego
Stąd, dla dowolnych liczb naturalnych zachodzi
(1) |
Stosując przekształcenie Abela, otrzymujemy:
Nakładając na obie strony wartość bezwzględną oraz uwzględniając (1) i monotoniczność ciągu dostajemy
Zatem
Niech Na mocy założenia o zbieżności ciągu istnieje takie że dla każdego
Ponieważ powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego szereg
spełnia warunek Cauchy’ego.
Przypisy edytuj
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 265.
Bibliografia edytuj
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966 .
Literatura dodatkowa edytuj
- Konrad Knopp , Theory and Application of Infinite Series, London-Glasgow: Blackie & Son Ltd., 1990 .
- Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, Warszawa: PWN, 1961 .
- Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden Analiza matematyczna dla fizyków tom 1: Toruń, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 1994.