Jeżeli ciąg liczbowy o wyrazach nieujemnych spełnia następujące warunki:
-
- ciąg jest nierosnący,
to szereg
-
jest zbieżny[1].
Zgodnie z założeniem
-
Niech
-
oznacza -tą sumę częściową rozważanego szeregu.
Podciąg ciągu sum częściowych postaci
-
jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Istotnie,
-
(ciąg ten jest nierosnący) oraz
-
(ciąg ten jest ograniczony).
Niech
-
Aby zakończyć dowód, trzeba pokazać, że
-
Rzeczywiście,
- [1].
Przykład zastosowania
edytuj
-
- jest zbieżny, jako szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest malejący i zbieżny do [1].
- w szeregu Grandiego ciąg wyrazów jest nierosnący,
- w szeregu ciąg wyrazów jest malejący.
- W żadnym z tych szeregów ciąg wyrazów nie jest zbieżny do i oba szeregi są rozbieżne
- w szeregu gdzie ciąg wyrazów jest zbieżny do ale nie jest nierosnący i szereg jest rozbieżny.
Bibliografia
edytuj
Literatura dodatkowa
edytuj
Linki zewnętrzne
edytuj
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Leibniz Criterion, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-02-09].
- Leibniz criterion (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-09].