Macierze Pauliego

Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej:

Wolfgang Pauli (1900–1958)

$\sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&&1\\1&&0\end{matrix}}\right],$

$\sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&~~~0\end{matrix}}\right],$

$\sigma _{3}=\left[{\begin{matrix}1&~~~0\\0&-1\end{matrix}}\right].$

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń $\sigma _{x}\equiv \sigma _{1},$ $\sigma _{y}\equiv \sigma _{2}$ i $\sigma _{z}\equiv \sigma _{3}.$

Czasem używa się również symbolu σ₀ na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru $2{\times }2,$ choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem $I,$ tj.

$I=\left[{\begin{matrix}1&&0\\0&&1\end{matrix}}\right].$

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta:

• w zespolonej przestrzeni Hilberta macierzy zespolonych wymiaru 2×2 oraz
• w rzeczywistej przestrzeni Hilberta zespolonych macierzy Hermitowskich o wymiarze $2{\times }2.$

Właściwości algebraiczne

Niech $I$ oznacza macierz jednostkową.

(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

${\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&\!\!\!\!-1,\\\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0,\end{matrix}},$

gdzie $i=1,2,3.$

(2) Iloczyny macierzy Pauliego

a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:

${\begin{aligned}\sigma _{1}^{2}&=I,\\\sigma _{1}\sigma _{2}&=i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{1}&=-i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{3}&=i\sigma _{1},\end{aligned}}$

itd.

b) Ogólnie mamy:

${\begin{aligned}\sigma _{i}\sigma _{j}&=I\cdot \delta _{ij}+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\end{aligned}},$

gdzie $i,j=1,2,3.$

(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.

${\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3},\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1},\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2},\\\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0,\end{aligned}}$

gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:

$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i},$

$\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}.$

Ogólnie mamy:

$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\sum _{k}\,\epsilon _{ijk}\,\sigma _{k},$

$\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=2\delta _{ij}I,$

gdzie:

$\varepsilon _{ijk}$ – symbol Leviego-Civity,

$\delta _{ij}$ – delta Kroneckera.

(4) Inna własność macierzy Pauliego:

$-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=I.$

Wartości i wektory własne

(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.

(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):

– dla macierzy $\sigma _{x}\equiv \sigma _{1}{:}$

$\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{1}},\quad \psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{-1}},$

– dla macierzy $\sigma _{y}\equiv \sigma _{2}{:}$

$\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{i}},\quad \psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{-i}},$

– dla macierzy $\sigma _{z}\equiv \sigma _{3}{:}$

$\psi _{z+}={\binom {1}{0}},\quad \psi _{z-}={\binom {0}{1}}.$

Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarny

(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:

${\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}},$

gdzie ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$ – wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Niech dany będzie wektor ${\vec {a}},$ taki że

${\vec {a}}=a_{1}{\hat {x}}+a_{2}{\hat {y}}+a_{3}{\hat {z}}.$

Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor ${\vec {a}}$ ma postać:

${\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}.$

(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.

$a_{1}\sigma _{1}=\sigma _{1}a_{1}={\begin{bmatrix}0&a_{1}\\a_{1}&0\end{bmatrix}}.$

Twierdzenia

$({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\qquad \qquad (1)$

oraz

$e^{i({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a},\qquad \qquad \qquad (2)$

gdzie:

• ${\vec {a}}=a{\hat {n}},$
• ${\hat {n}}$ – wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.

Dowód (#1)

${\begin{aligned}({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})&=a_{i}\sigma _{i}b_{j}\sigma _{j}\\&=a_{i}b_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\\&=a_{i}b_{j}\left(\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\right)\\&=a_{i}b_{j}\delta _{ij}\cdot I+i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\\&=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot I+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\end{aligned}}$

Dowód (#2)

Najpierw zauważmy równość

$({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I.$

(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji).

Dla pozostałych:

$({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}.$

Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}x^{n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.\end{aligned}}$

Kiedy podstawimy $x=a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}),$

otrzymamy

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$=I\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{(2n)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$

Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,

$e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}.$

Informatyka kwantowa

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako $X,Y,Z$ kolejno dla $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}.$

Zobacz też

• równanie Pauliego
• spinor Pauliego

Inne:

• algebra Liego
• kwaterniony
• macierze Diraca
• wektor Blocha

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pauli Matrices, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Macierze Pauliego (ang.) w encyklopedii PlanetMath