Naprężenie ścinające

Naprężenie ścinające $\mathbf {\tau }$ (zwane również naprężeniem stycznym lub tnącym) jest bezpośrednią przyczyną powstawania odkształceń postaciowych $\mathbf {\gamma }$ w obciążonym ośrodku sprężystym. Takie odkształcenia (pokazane na rys. 1a-b dla płaskiego stanu naprężenia), powodują tylko zmianę kształtu elementarnego sześcianu (otaczającego rozważany punkt ośrodka) w dwuskośny równoległościan, bez jakiejkolwiek zmiany jego objętości (tzw. zmiana dewiacyjna – bez zmiany długości krawędzi). W przypadku ogólnym sześcian ten podlega nie tylko działaniu naprężeń stycznych $\mathbf {\tau } ,$ ale również naprężeń normalnych $\mathbf {\sigma } ,$ powodujących zmianę objętości tego sześcianu bez jakiejkolwiek zmiany jego kształtu (tzw. zmiana aksjacyjna – ze zmianą długości krawędzi). Obydwa naprężenia, styczne i normalne, są składowymi całkowitego naprężenia $\mathbf {s}$ działającego na ścianę sześcianu.

Rys. 1. a) czyste ścinanie w pewnym punkcie ośrodka; b) przypadek czystego ścinania w płytce; c) naprężenie styczne w pręcie rozciąganym; d) nieliniowy rozkład naprężeń stycznych w przekroju płasko zginanego pręta pryzmatycznego o przekroju prostokątnym

Uwagi ogólne

O ile jednak naprężenia normalne $\mathbf {\sigma }$ wywołują skutki łatwo obserwowalne w postaci wydłużeń lub skróceń jednostkowych $\mathbf {\epsilon } ,$ o tyle skutki działania naprężeń ścinających, powodujące tylko zmiany kątów, są znacznie trudniejsze do obserwacji. Pomiędzy naprężeniami stycznymi, a wywołanymi przez nie odkształceniami postaciowymi zachodzi prawo Hooke’a $\tau =\gamma G$ ($G$ – moduł odkształcenia postaciowego) analogiczne do prawa $\sigma =\epsilon E$ dla przypadku rozciągania.

Na podstawie rys. 1a mamy $\Delta l=\Delta s\cos 45^{\circ }\;{}$ oraz ${}\;l={\frac {a}{\sin 45^{\circ }}},$ stąd

$\epsilon ={\frac {\Delta l}{l}}={\frac {\Delta s}{a}}\cos 45^{\circ }\sin 45^{\circ }=0{,}5{\frac {\Delta s}{a}}={\frac {\gamma }{2}}.$

Jako ilustrację działania naprężeń normalnych przytacza się najczęściej model prostego pręta rozciąganego siłami osiowymi przyłożonymi na jego przeciwległych końcach. W przekrojach poprzecznych prostopadłych do osi takiego modelu występuje czyste rozciąganie. Równie prostego modelu dla działania naprężeń stycznych nie udaje się znaleźć. Stan czystego ścinania można jednak wywołać w płytce rozciąganej w jednym kierunku $(+\sigma )$ i ściskanej $(-\sigma )$ – w drugim (rys. 1b).

Przy wymiarowaniu połączeń nitowanych i spawanych przyjmuje się, że naprężenia styczne $\tau$ rozkładają się równomiernie na wszystkie przekroje poprzeczne nitów lub spoin dzięki czemu naprężenia te oblicza się ze wzoru $\tau ={\frac {P}{F}},$ w którym $P$ jest siłą działającą na połączenie, a $F$ sumą przekrojów wszystkich nitów lub spoin tego połączenia.

W ukośnych przekrojach prętów rozciąganych (rys. 1c) naprężenia styczne mają stałe wartości na długości tych prętów.

Zginanie poprzeczne

W przekrojach prętów pracujących na zginanie poprzeczne rozkład naprężeń stycznych jest silnie nieliniowy (rys. 1d).

Rys. 2. Naprężenia w elemencie belki zginanej poprzecznie

Rozważmy dla przykładu pręt pryzmatyczny o przekroju symetrycznym względem płaszczyzny $Ozx$ i zginany poprzecznie w tej płaszczyźnie. Na rys. 2 pokazano element wycięty z tego pręta przekrojami a–a i b–b. W przekroju a–a działa naprężenie normalne zgodnie ze wzorem $\sigma (x,z)={\frac {M_{y}(x)}{J_{y}}}z,$ w przekroju zaś b–b, mamy $d\sigma (x,z)={\frac {dM_{y}(x)}{J_{y}}}z,$ przy czym $J_{y}$ jest momentem bezwładności przekroju względem osi $Oy,$ a $M_{y}(x)$ – momentem zginającym względem tej osi.

Warunek równowagi sił działających wzdłuż osi $Ox$ na element $abcd$ zapiszemy w postaci

$\tau (x,z)b(z)dx=\int _{z}^{z_{max}}d\sigma (x,z)b(z)dz,$

gdzie $b(z)$ jest szerokością przekroju poprzecznego na wysokości $z.$

Dzięki temu, że $d\sigma (x,z)={\frac {dM_{y}(x)}{J_{y}}}z$ możemy napisać

${\begin{aligned}\tau (x,z)&={\frac {1}{b(z)dx}}\int _{z}^{z_{max}}d\sigma (x,z)b(z)dz\\[1ex]&={\frac {dM_{y}(x)}{J_{y}b(z)dx}}\int _{z}^{z_{max}}zb(z)dz\\[1ex]&={\frac {Q(x)S_{y}^{\star }(z)}{J_{y}b(z)}},\end{aligned}}$

gdzie $S_{y}^{\star }(z)$ oznacza moment statyczny względem osi $Oy$ tej części przekroju poprzecznego, która jest położona powyżej prostej o równaniu $z=\mathrm {const} .$

I tak na przykład dla przekroju prostokątnego o wymiarach $b\times h$ otrzymuje się (rys. 1d)

$\tau (x,z)={\frac {6}{bh^{3}}}\left({\frac {h^{2}}{4}}-z^{2}\right)Q(x)\;{}$ oraz ${}\;\tau _{max}(x)=1{,}5{\frac {Q(x)}{bh}}=1{,}5Q_{sr}(x).$

Deplanacja przekroju

Istotą teorii Eulera-Bernoulliego jest założenie o płaskości przekroju pręta zginanego poprzecznie. Oznacza to, że punkty leżące w płaszczyźnie tego przekroju przed odkształceniem pręta pozostają nadal na płaszczyźnie po jego odkształceniu. Konsekwencją takiego założenia jest pominięcie odkształceń wywołanych siłą poprzeczną $Q.$

W rzeczywistości przekrój podlegający ścinaniu ulega deplanacji (spaczeniu) i jego punkty doznają dodatkowych przemieszczeń prostopadłych do płaszczyzny przekroju, który staje się pewną powierzchnią opisaną przez funkcję spaczenia $u^{*}(x,z)$.

Rys. 6: a) przemieszczenia punktów przekroju wywołane ścinaniem (rzędne funkcji spaczenia są zaciemnione); b) belka porównawcza

Rzeczą interesującą jest porównanie wielkości przemieszczeń wywołanych zginaniem według teorii Eulera-Bernoulliego, z przemieszczeniami będącymi efektem deplanacji wywołanej ścinaniem. Aby efektywnie dokonać tego porównania ograniczymy się do przypadku belki pryzmatycznej o przekroju prostokątnym o wymiarach $b\times h.$

Oznaczmy przemieszczenie punktu przekroju poprzecznego wzdłuż osi $Ox$ przez $u(x,z)$ (rys. 6a). Wykorzystując prawo Hooke’a dla ścinania $(\gamma ={\frac {\tau }{G}}),$ możemy napisać

${\begin{aligned}du&=\gamma dz={\frac {\tau }{G}}dz\\[1ex]&={\frac {1}{G}}{\frac {6}{bh^{3}}}\left({\frac {h^{2}}{4}}-z^{2}\right)Q(x)dz\\[1ex]&=k\left({\frac {h^{2}}{4}}-z^{2}\right)dz,\end{aligned}}$

gdzie:

$k={\frac {6Q(x)}{Gbh^{3}}}.$

Obliczymy teraz przemieszczenie całkowite $u(x,z)$ liczone względem układu $Ozx.$

${\begin{aligned}u(x,z)&=k\int _{-{\frac {h}{2}}}^{z}\left({\frac {h^{2}}{4}}-\xi ^{2}\right)d\xi \\[1ex]&=k\left(-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{4}}h^{2}z+{\frac {1}{12}}h^{3}\right).\end{aligned}}$

Funkcja ta (rys. 6a) opisuje całkowite przemieszczenia punktów przekroju w kierunku osi $Ox$ wywołane ścinaniem siłą $Q(x).$ Przemieszczenia liczone względem środka ciężkości przekroju określa funkcja

$u^{\circ }(x,z)=k\left(-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{4}}h^{2}z\right),$

$u^{\circ }\left(x,\pm {\frac {h}{2}}\right)=\pm {\frac {kh^{3}}{12}}.$

Funkcję spaczenia (deplanacji) otrzymamy, odejmując od funkcji $u(x,z)$ funkcję liniową przechodzącą przez punkty $S$ i $A$ (rys. 6a). Po wykonaniu tej operacji funkcja spaczenia przybiera postać

$u^{*}(x,z)={\frac {k}{3}}\left({\frac {h^{2}}{4}}-z^{2}\right)z.$

Maksymalna wartość spaczenia występuje dla $z^{*}=\pm {\frac {h}{\sqrt {12}}}=0{,}2887\cdot h$ i ma wartość $u_{max}^{*}(x)={\tfrac {k}{3}}\left({\tfrac {h^{2}}{4}}-{\tfrac {h^{2}}{12}}\right){\tfrac {h}{\sqrt {12}}}={\tfrac {h^{3}}{18{\sqrt {12}}}}k={\tfrac {\sqrt {12}}{36}}{\tfrac {Q(x)}{Gb}}.$

Otrzymany wynik warto porównać z rezultatami uzyskanymi dla zginania według teorii Eulera-Bernoulliego. W tym celu rozważymy belkę wspornikową z rys. 6b. Równania linii ugięcia $w(x),$ kąta obrotu przekroju $w^{'}(x)$ i krzywizny osi $w^{''}(x)$ mają postać

$w(x)={\frac {P}{6EJ}}(-x^{3}+3L^{2}x-2L^{3}),$

$w^{'}(x)={\frac {P}{6EJ}}(-3x^{2}+3L^{2}),$

$w^{''}(x)=-{\frac {P}{EJ}}x.$

Największe wartości przemieszczeń występują na lewym końcu belki. I tak

$w_{max}(0)=-{\frac {PL^{3}}{3EJ}},\quad w_{max}^{'}(0)={\frac {PL^{2}}{2EJ}}.$

Stąd

${\begin{aligned}\left|{\frac {u_{max}^{*}}{w_{max}}}\right|&={\frac {\sqrt {12}}{36}}{\frac {Q}{bG}}{\frac {1}{\frac {PL^{3}}{3EJ}}}={\frac {\sqrt {12}}{144}}{\frac {E}{G}}\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!3},\\\left|{\frac {u_{max}^{*}}{{\frac {h}{2}}w_{max}^{'}}}\right|&={\frac {\sqrt {12}}{36}}{\frac {Q}{bG}}{\frac {1}{{\frac {h}{2}}{\frac {PL^{2}}{2EJ}}}}={\frac {\sqrt {12}}{108}}{\frac {E}{G}}\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}.\end{aligned}}$

Ponieważ ${\frac {E}{G}}=2(1+\mu )$ zatem dla średniej wartości współczynnika Poissona $\mu =0{,}25$ mamy ${\frac {E}{G}}=2{,}5$ i ostatecznie

${\begin{aligned}\left|{\frac {u_{max}^{*}}{w_{max}}}\right|&=0{,}0601\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!3},\\\left|{\frac {u_{max}^{*}}{{\frac {h}{2}}w_{max}^{'}}}\right|&=0{,}0321\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}.\end{aligned}}$

Jak widać, dla belek wysokich $(h/L=1),$ wartości przemieszczeń wynikających z deplanacji przekroju poprzecznego mogą osiągać wartości nawet kilkuprocentowe w stosunku do przemieszczeń wywołanych zginaniem.

Wpływ ścinania jest jeszcze większy przy obliczaniu ugięć belek. I tak na przykład dla belki z rys. 6b przy założeniu, że $\tau _{sr}=Q/A,$ maksymalne ugięcie wywołane ścinaniem siłą $P$ wynosi $w_{max}^{Q}={\frac {QL}{GA}}.$ W porównaniu z ugięciem pochodzącym od zginania otrzymujemy

${\begin{aligned}\left|{\frac {w_{max}^{Q}}{w_{max}^{M}}}\right|&={\frac {QL}{GA}}{\frac {3EJ}{PL^{3}}}={\frac {E}{4G}}\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}\\&={\frac {1}{4}}2{,}5\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}=0{,}625\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}.\end{aligned}}$

W poniższej tabeli zestawiono procentowy udział ścinania w ugięciu końca wspornika z rys. 6b.

h/L	1,0	1/2	1/5	1/10
${\frac {w^{Q}}{w^{M}}}$%	62,5	15,6	2,5	0,625

Dodatkowo sprawdzimy jeszcze udział ścinania w maksymalnych wartościach kątów obrotu przekroju końca wspornika

${\tfrac {\frac {u_{max}^{\circ }}{h/2}}{w_{max}^{'}}}={\tfrac {2}{h}}{\tfrac {kh^{3}}{12}}{\tfrac {2EJ}{PL^{2}}}={\tfrac {1}{3}}{\tfrac {6Q}{Gbh^{3}}}h^{2}{\tfrac {2E}{PL^{2}}}{\tfrac {bh^{3}}{12}}=0{,}4167\left({\tfrac {h}{L}}\right)^{\!2}.$

Warto na koniec zauważyć, że efekty pochodzące od ścinania czasem się sumują z efektami pochodzącymi od zginania (jak przy obliczeniu ugięć), a czasem się odejmują (jak przy obliczaniu kątów).

Płaski stan naprężenia

Analizę ogólną naprężenia stycznego w wybranym punkcie ośrodka sprężystego najwygodniej jest przeprowadzać za pomocą konstrukcji koła Mohra sporządzonego dla przyjętego układu współrzędnych $Oxy.$ Z konstrukcji tej wynika, że w każdym punkcie ośrodka istnieją dwa prostopadłe kierunki, którym odpowiadają zerowe wartości naprężeń stycznych. Dla tych kierunków zwanych kierunkami naprężeń głównych naprężenia normalne osiągają wartości ekstremalne. Wyznaczanie tych kierunków ma znaczenie podstawowe na przykład przy projektowaniu zbrojenia elementów żelbetowych. Naprężenia styczne w ogóle nie występują tylko w takim ośrodku, który jest „hydrostatycznie” ściskany lub rozciągany. W takim przypadku każdy kierunek jest kierunkiem głównym, a koło Mohra redukuje się do punktu.