Nierówność Muirheada

Nierówność Muirheada – uogólnienie nierówności między średnimi potęgowymi. Nierówność Muirheada została udowodniona w 1903 roku, a jej uogólnienie w 2009.

Jeżeli $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}$ są liczbami nieujemnymi, takimi że:

$a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \dots \geqslant a_{n}$

$b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \dots \geqslant b_{n}$

$a_{1}+a_{2}+\dots +a_{k}\geqslant b_{1}+b_{2}+\dots +b_{k}$ dla $1\leqslant k<n$

$a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n}$

to mówimy, że ciąg $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ majoryzuje ciąg $(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ i piszemy $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\succ (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}).$

Sformułowanie nierówności: jeżeli ciąg $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ majoryzuje ciąg $(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ to dla nieujemnych liczb $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

$\sum _{s\in S_{n}}x_{1}^{a_{s(1)}}x_{2}^{a_{s(2)}}\dots x_{n}^{a_{s(n)}}\geqslant \sum _{s\in S_{n}}x_{1}^{b_{s(1)}}x_{2}^{b_{s(2)}}\dots x_{n}^{b_{s(n)}},$

gdzie $\sum _{s\in S_{n}}$ oznacza sumę dla wszystkich permutacji $s$ zbioru $\{1,2,\dots ,n\}.$