Operator sprzężony (przestrzenie Banacha)
Operator sprzężony – dla danego operatora liniowego i ograniczonego działającego między przestrzeniami Banacha i operator liniowy
dany wzorem
tj. operator spełniający warunek
(symbol oznacza przestrzeń sprzężoną do a symbol oznacza wartość funkcjonału w punkcie tj. ).
Własności edytuj
- Operator sprzężony jest ograniczony oraz
- Rzeczywiście,
- skąd Niech będzie elementem o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie takiego elementu o normie 1, że a stąd
- Nierówność wynika z możliwości przejścia do supremum w powyższej nierówności po wszystkich o normie 1.
- Jądro operatora sprzężonego jest domknięte w topologii *-słabej przestrzeni [1]. Istotnie, jeżeli jest operatorem ograniczonym oraz jest ciągiem uogólnionym w ker który jest zbieżny do pewnego w topologii *-słabej, to dla każdego zachodzi
- tj. czyli W szczególności, każdy operator sprzężony jest ciągły względem *-słabych topologii i odpowiednio.
- Obraz operatora jest gęsty w wtedy i tylko wtedy, gdy operator jest iniektywny.
- Dla danego operatora ograniczonego następujące warunki są równoważne:
- obraz jest domknięty w
- obraz jest domknięty w
- obraz jest domknięty w w *-słabej topologii.
Operatory sprzężone do operatorów szczególnych klas edytuj
Niech będzie operatorem ograniczonym, działającym między przestrzeniami Banacha.
- Twierdzenie Schaudera: Operator jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator jest zwarty.
- Twierdzenie Gantmacher: Operator jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator jest słabo zwarty.
- Jeżeli jest ściśle singularny, to jest ściśle kosingularny. Jeżeli jest ściśle kosingularny, to jest ściśle singularny.
Przypisy edytuj
- ↑ Megginson 1998 ↓, s. 294.
Bibliografia edytuj
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
- Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 110–115.