Podprzestrzeń komplementarna

Podprzestrzeń komplementarna – domknięta podprzestrzeń liniowa $X$ danej przestrzeni liniowo-topologicznej $E$ o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa $Y,$ iż

$E=X\oplus Y,$

tj. $X+Y=E$ oraz $X\cap Y=\{0\}.$ Rozkład przestrzeni $E$ na sumę prostą domkniętych podprzestrzeni nazywany jest czasami topologiczną sumą prostą. Ponadto podprzestrzeń $X$ przestrzeni liniowo-topologicznej $E$ jest komplementarna wtedy i tylko wtedy, gdy jest obrazem pewnego ciągłego operatora liniowego $P\colon E\to E$ spełniającego warunek $P^{2}=P$ (operatory idempotentne nazywane są rzutami). Czasami w geometrycznych rozważaniach dotyczących podprzestrzeni komplementarnych przestrzeni Banacha ważna jest norma rzutu na daną podprzestrzeń. Niech $\lambda \geqslant 1$ oraz $E$ będzie przestrzenią Banacha. Mówi się, że podprzestrzeń liniowa $X$ przestrzeni $E$ jest $\lambda$-komplementarna, gdy istnieje rzut $P\colon E\to E$ o normie $\leqslant \lambda .$

Przykłady

• Każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest komplementarna. Wynika stąd, że każda podprzestrzeń kowymiaru skończonego w danej przestrzeni unormowanej jest także komplementarna.
• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta jest komplementarna; co więcej, istnieje rzut ortogonalny, którego jest ona obrazem – mówi o tym twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przestrzeń Banacha, której każda domknięta podprzestrzeń jest komplementarna jest izomorficzna z przestrzenią Hilberta.
• Twierdzenie Sobczyka mówi, że jeżeli $E$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz $X$ jest jej podprzestrzenią izomorficzną z przestrzenią c₀, to $X$ jest 2-komplementarna w $E.$ Stałej 2 nie można poprawić.
• Phillips i Sobczyk pokazali niezależnie, że żadna podprzestrzeń przestrzeni $\ell _{\infty }$ izomorficzna z $c_{0}$ nie jest komplementarna.
• W przestrzeniach ℓ_p dla $p\in [1,2)\cup (2,\infty )$ istnieją podprzestrzenie izomorficzne z $\ell _{p},$ które nie są komplementarne.
• Podprzestrzeń komplementarna przestrzeni z bazą Schaudera nie musi mieć bazy Schaudera.
• W przestrzeni Banacha funkcji ciągłych $C[0,\omega ^{\omega }]$ na liczbie porządkowej $\omega ^{\omega }+1$ istnieje podprzestrzeń izomorficzna z $C[0,\omega ^{\omega }],$ która nie jest komplementarna. Można stąd wyprowadzić podobny fakt dla przestrzeni typu $C(K),$ gdzie $K$ jest zwartą przestrzenią metryczną o tej własności, że $C(K)$ nie jest izomorficzne z $c_{0}$ (w tym wypadku $C(K)$ zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z $C[0,\omega ^{\omega }]$).