Suma prosta przestrzeni liniowych

Suma prosta przestrzeni liniowych – przestrzeń liniowa $V$ powstała poprzez pewnego rodzaju sumowanie przestrzeni liniowych $(V_{i})_{i\in I}{:}$

$V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.$

To jakiego rodzaju jest to sumowanie zależy od kontekstu. W przypadku gdy $I=\{1,2,\dots ,n\}$ piszemy również

$V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}.$

Przykładowo $\mathbb {R} ^{n}$ może być uważane za sumę prostą

$\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \oplus \ldots \oplus \mathbb {R}$

n kopii $\mathbb {R} .$

Suma prosta to z jednej strony narzędzie analizowania przestrzeni liniowych, a z drugiej strony – bardzo wygodny sposób konstruowania nowych przestrzeni liniowych.

Zewnętrzna suma prosta

Definicja

Niech $I$ będzie dowolnym zbiorem. Załóżmy, że mamy daną rodzinę przestrzeni liniowych $(V_{i})_{i\in I}$ nad tym samym ciałem $K.$ Rozpatrzmy funkcje postaci

$f:I\to \bigcup _{i\in I}V_{i}$

takie, że $f(i)\in V_{i}.$ Nośnikiem $f$ nazwiemy zbiór

$\mathrm {supp} f:=\{i\in I;\ f(i)\neq 0\}.$

Zbiór funkcji tej postaci o skończonym nośniku nazywamy (zewnętrzną) sumą prostą przestrzeni liniowych $V_{i},\ i\in I$ i oznaczamy

$\bigoplus _{i\in I}V_{i}\quad \mathrm {lub} \quad \bigsqcup _{i\in I}V_{i}.$

Uwagi do definicji

(1) Elementy zbioru $I$ interpretujemy jako indeksy.

(2) Gdy $I=\mathbb {N}$ to elementami $\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}$ są nieskończone ciągi postaci

$(v_{1},v_{2},v_{3},\dots ),$

gdzie $v_{i}\in V_{i},$ które mają jednakowoż skończoną liczbę niezerowych wyrazów.

(3) Gdy $I=\{1,2,\dots ,n\}$ to elementami $\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ są skończone ciągi postaci

$(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}).$

Piszemy wówczas także

$V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.$

(4) (Zewnętrzna) suma prosta to bardzo wygodny sposób konstruowania nowych przestrzeni liniowych (patrz: Struktura przestrzeni liniowej).

Struktura przestrzeni liniowej

W (zewnętrznej) sumie prostej $\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ możemy wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo

$(f+g)(i):=f(i)+g(i)$

$(\alpha f)(i):=\alpha f(i)$

dla $f,g\in \bigoplus _{i\in I}V_{i},\ \alpha \in K.$

Gdy elementy $\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ są ciągami (skończonymi lub nie) to sprowadza się to do dodawania wyrazów ciągów:

$(v_{1},v_{2},\dots )+(w_{1},w_{2},\dots )=(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},\dots )$

i do mnożenia ich przez skalar:

$\alpha (v_{1},v_{2},\dots )=(\alpha v_{1},\alpha v_{2},\dots ).$

Wewnętrzna suma prosta

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową. Jeżeli $V_{1},V_{2},\dots ,V_{k}$ są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni $V$ takimi, że każdy wektor $v\in V$ można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy

$v=v_{1}+v_{2}+\ldots +v_{k}$

gdzie $v_{i}\in V_{i}$ to mówimy, że $V$ jest (wewnętrzną) sumą prostą podprzestrzeni liniowych $V_{1},\dots ,V_{k}$ i piszemy

$V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}$.

Uwagi

(1) Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni $V_{i},$ to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.

(2) Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.

Izomorfizm zewnętrznej i wewnętrznej sumy prostej

Załóżmy, że przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem $K$ jest przedstawiona w postaci wewnętrznej sumy prostej

$V=V_{1}\oplus _{i}\ldots \oplus _{i}V_{n}.$

Utwórzmy zewnętrzną sumę prostą podprzestrzeni $V_{1},\dots ,V_{n}{:}$

$V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}.$

$V$ i $V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}$ są izomorficzne. Oznacza to, że zewnętrzna i wewnętrzna suma prosta są w istocie tym samym i pozwala mówić po prostu o sumie prostej.

Dowód. Zdefiniujmy homomorfizm $\varphi :V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}\to V.$ Homomorfizm przestrzeni liniowych $U$ i $W$ nad ciałem $K$ to funkcja $\phi :U\to W$ taka, że

$\phi (\alpha u_{1}+\beta u_{2})=\alpha \phi (u_{1})+\beta \phi (u_{2})$

dla dowolnych $u_{1},u_{2}\in U,\ \alpha ,\beta \in K.$ Zdefiniujmy $\varphi$ wzorem

$\varphi (v_{1},\dots ,v_{n}):=v_{1}+\ldots +v_{n}.$

Mamy

$\varphi (\alpha x+\beta y)=\alpha \varphi (x)+\beta \varphi (y)$

dla dowolnych $x,y\in V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n},\ \alpha ,\beta \in K,$ a zatem $\varphi$ jest homomorfizmem.

Zdefiniujmy funkcję $\psi :V\to V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}$ wzorem

$\psi (v)=\psi (v_{1}+\ldots +v_{n}):=(v_{1},\dots ,v_{n}),$

gdzie $v_{1}+\ldots +v_{n}$ to z definicji wewnętrznej sumy prostej jedyne takie przedstawienie wektora $v,$ że $v_{i}\in V_{i}.$ Dla $u=u_{1}+\ldots +u_{n}$ i $v=v_{1}+\ldots +v_{n}$ utwórzmy sumę $\alpha u+\beta v.$ Z definicji wewnętrznej sumy prostej istnieje tylko jedno przedstawienie

$\alpha u+\beta v=w_{1}+\ldots +w_{n}$

takie, że $w_{i}\in V_{i}.$

$\alpha u+\beta v=(\alpha u_{1}+\beta v_{1})+\ldots +(\alpha u_{n}+\beta v_{n})$

jest takim przedstawieniem, a zatem jest jedyne. Wynika z tego, że

$\psi (\alpha u+\beta v)=\psi ((\alpha u_{1}+\beta v_{1})+\ldots +(\alpha u_{n}+\beta v_{n}))=(\alpha u_{1}+\beta v_{1},\dots ,\alpha u_{n}+\beta v_{n})=\alpha \psi (u)+\beta \psi (v).$

A zatem $\psi :V\to V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}$ jest homomorfizmem.

Złożenia $\varphi$ i $\psi$ są funkcjami identycznościowymi:

$(\varphi \circ \psi )(v)=v,\quad (\psi \circ \varphi )(u)=u$

dla $v\in V$ i $u\in V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}.$ Oznacza to z definicji funkcji odwrotnej, że $\varphi$ i $\psi$ są funkcjami wzajemnie odwrotnymi

$\psi =\varphi ^{-1},$

a zatem $\varphi$ jest izomorfizmem $V=V_{1}\oplus _{i}\ldots \oplus _{i}V_{n}$ i $V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}.\blacksquare$

Twierdzenie o rozkładzie na sumę prostą

Jeżeli $V_{1}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V$ to zawsze istnieje taka podprzestrzeń $V_{2},$ że

$V=V_{1}\oplus V_{2}.$

W algebrze liniowej, podprzestrzenie $V_{1}$ i $V_{2}$ nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.

Przykłady

Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji

Niech $V$ oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech $V_{n},V_{p}$ będą zdefiniowane jako:

• $V_{n}$ – przestrzeń liniowa funkcji nieparzystych,
• $V_{p}$ – przestrzeń liniowa funkcji parzystych.

Dowolną funkcje $f$ można przedstawić jako sumę $f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}},$

gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.

Dowód (niewprost)

Załóżmy, że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:

$f=p_{1}+n_{1}=p_{2}+n_{2}$

lub równoważnie

$n_{1}-n_{2}=p_{2}-p_{1}.$

Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że

$p_{1}=p_{2}$ oraz $n_{1}=n_{2},$

co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.

Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:

$V=V_{p}\oplus V_{n}.$

Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych

W przestrzeni liniowej $V$ macierzy $n\times n$ każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.

$A=A^{sym}+A^{antysym},$

gdzie:

$A^{T}$ – macierz transponowana macierzy $A,$

$A^{sym}={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)$ – macierz symetryczna,

$A^{antysym}={\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)$ – macierz antysymetryczna.

Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń $V^{sym}$ przestrzeni liniowej $V$ macierzy, gdyż:

a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,

b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.

Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń $V^{antysym}$ przestrzeni $V.$

Ponieważ każdą macierz przestrzeni $V$ da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą

$V=V^{sym}\oplus V^{antysym}.$

Np. dla macierzy

$A={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&4&6\\0&0&8\end{bmatrix}}$

macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie

$A^{T}={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&4&0\\4&6&8\end{bmatrix}},$ $A^{sym}={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&4&3\\2&3&8\end{bmatrix}},$ $A^{antysym}={\begin{bmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{bmatrix}}.$

Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej

Przestrzeń liniowa utworzona z tensorów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz $n\times n,$ gdzie $n$ – wymiar przestrzeni liniowej, na której określono pole tensorowe. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa

Niech $V$ oznacza przestrzeń wektorową $3$-wymiarową (ogólnie: $n$-wymiarową). W przestrzeni tej można wprowadzić podział na sumy proste następująco:

• wybiera się bazę przestrzeni $V$ (możliwych baz jest nieskończenie wiele),
• zbiór wektorów $B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru $3$-elementowego mamy możliwe podziały bazy:

  $P_{1}=\{\{e_{1}\},\{e_{2},e_{3}\}\},$

  $P_{2}=\{\{e_{2}\},\{e_{3},e_{1}\}\},$

  $P_{3}=\{\{e_{3}\},\{e_{1},e_{2}\}\},$

  $P_{4}=\{\{e_{1}\},\{e_{2}\},\{e_{2}\}\}.$

Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni $V$ na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy $B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}{:}$

$V=V_{1}\oplus V_{23},$

$V=V_{2}\oplus V_{31},$

$V=V_{3}\oplus V_{12},$

$V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3}.$

Dla przestrzeni $n$-wymiarowej – przy dużej wartości $n$ – możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.

Suma prosta w analizie funkcjonalnej

W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni $V_{1}$ i $V_{2}$ danej przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ oznacza sumę prostą

$X=V_{1}\oplus V_{2}.$

przy założeniu, że $V_{1}$ i $V_{2}$ są domknięte (czasami dla odróżnienia, mówi się o topologicznej sumie prostej). Jeśli $V_{1}$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ (np. przestrzeni Banacha $X$), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń $V_{2}$ (tutaj definicję komplementarności zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią Hilberta, to twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni $V_{1}$ jej dopełnienie ortogonalne $V_{1}^{\perp }$ stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.

$X=V_{1}\oplus V_{1}^{\perp }.$

Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.

Suma prosta odwzorowań

Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi $V_{i}$ i $W_{i},$ $i=1,2$

$\varphi _{1}\colon V_{1}\to W_{1},$

$\varphi _{2}\colon V_{2}\to W_{2},$

definiuje się ich sumę prostą

$\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\colon V_{1}\oplus V_{2}\to W_{1}\oplus W_{2}$

wzorem

$(\varphi _{1}\oplus \varphi _{2})(v_{1},v_{2})=(\varphi _{1}(v_{1}),\varphi _{2}(v_{2})).$

Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli $V_{i},W_{i}$ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz

$\varphi _{i}\colon V_{i}\to W_{i},\,i\in I,$

to wzór

$\left(\bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\right)((x_{i})_{i\in I})=(\varphi (x_{i}))_{i\in I},\,(x_{i})_{i\in I}\in \bigoplus _{i\in I}V_{i}$

definiuje przekształcenie

$\bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\colon \bigoplus _{i\in I}V_{i}\to \bigoplus _{i\in I}W_{i}$

nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań $(\varphi _{i})_{i\in I}.$

Suma prosta przestrzeni Banacha

Jeżeli $\{X_{i}\colon i\in I\}$ jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej

$\bigoplus _{i\in I}X_{i}.$

nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni $X_{i},$ a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór $I$ jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.

c₀-suma przestrzeni Banacha

Jeżeli $\{(X_{n},\|\cdot \|_{n})\colon n\in \mathbb {N} \}$ jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń

$X\subseteq \prod _{n\in \mathbb {N} }X_{n}$

tych ciągów $(x_{n})_{n},$ dla których

$\lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{n}=0$

jest przestrzenią Banacha z normą

$\|(x_{n})_{n}\|=\sup\{\|x_{n}\|_{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.$

Podprzestrzeń $X$ nazywana jest czasem $c_{0}$ sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem

$X=\left({\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }}X_{n}\right)_{c_{0}}.$

Analogicznie definiuje się sumy typu $c_{0}(I),$ gdzie $I$ jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.

l^p-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta

Jeżeli $\{(X_{i},\|\cdot \|_{i})\colon i\in I\}$ jest rodziną przestrzeni Banacha oraz $1\leqslant p<\infty ,$ to podprzestrzeń

$X\subseteq \prod _{i\in I}X_{i}$

złożona z tych elementów $(x_{i})_{i}$ dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów $x_{i}$ jest niezerowych oraz szereg

$\sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p},$

jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą

$\|(x_{i})_{i}\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$

Przestrzeń $X$ nazywana jest $\ell ^{p}$-sumą rodziny $\{X_{i}\colon i\in I\}$ i oznaczana symbolem

$X=\left({\bigoplus _{i\in I}}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}.$

Jeżeli $p$ i $q$ są dowolnymi liczbami z przedziału $[1,\infty ),$ to normy w $\ell ^{p}$ – i $\ell ^{q}$-sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.

W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie $X_{i}$ są przestrzeniami Hilberta, to ich $\ell ^{2}$-suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks $\ell ^{2}$ w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów $(x_{i})_{i}$ i $(y_{i})_{i}$ w sumie prostej spełnia warunek

$\langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle =\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{i}.$

Pojęcie $\ell ^{p}$-sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day, natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego.

Suma prosta operatorów ograniczonych

Jeżeli $(T_{i})_{i\in I}$ jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, $X_{i}$ i $Y_{i},$ tj.

$\sup _{i\in I}\|T_{i}\|<\infty ,$

to dla ustalonego $p\geqslant 1$ definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych $\ell ^{p}$-sumę rodziny $(T_{i})_{i\in I},$ tj. operator

$\left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\colon \left(\bigoplus _{i\in I}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}\to \left(\bigoplus _{i\in I}Y_{i}\right)_{\ell ^{p}},$

zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem $\ell ^{p}$-sumy. W szczególności, $\ell ^{p}$-suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz

$\left\|\left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\right\|=\sup\{\|T_{i}\|\colon i\in I\}.$

Jeżeli $X_{i},Y_{i}$ są przestrzeniami Hilberta, to $\ell ^{2}$-sumę operatorów $T_{i}$ nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.

Zobacz też

• iloczyny grup
• iloczyn prosty
• moduł wolny generowany przez zbiór

Bibliografia

• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. PWN, 1970.brak strony w książce
• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.brak strony w książce
• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce
• Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 126–127. ISBN 0-8176-4367-2.
• A.P. Robertson, W.J. Robertson: Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53: Cambridge University Press, 1964, s. 89–90.

Linki zewnętrzne

• [https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lundholm/clifford.pdf Clifford algebra, geometric algebra,

and applications]