Przestrzeń Baire’a

Przestrzeń Baire’a – termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Własność przestrzeni topologicznych

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że $X$ jest przestrzenią Baire’a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów $X$ jest gęstym podzbiorem $X.$

Niektórzy autorzy używają zwrotu $X$ ma własność Baire’a (zamiast „$X$ jest przestrzenią Baire’a”). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire’a podzbiorów przestrzeni.

Przykłady

• Prosta rzeczywista $\mathbb {R}$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych $\mathbb {R} ^{n}$ jest przestrzenią Baire’a.
• Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire’a.
• Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire’a.
• Każda lokalnie zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią Baire’a.
• Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire’a.
• Przestrzeń $(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times 0)$ z metryką euklidesową jest przestrzenią Baire’a (bo dla dowolnego jej podzbioru domkniętego brzegowego $F$ zbiór $F\cup (\mathbb {R} \times 0)$ jest domknięty brzegowy w $\mathbb {R} \times [0,\infty ),$ która jest przestrzenią Baire’a), ale nie jest zupełna w sensie Čecha (bo jej domkniętym podzbiorem jest $\mathbb {Q} \times 0,$ która nie jest metryzowalna w sposób zupełny).

Własności

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

• $X$ jest przestrzenią Baire’a,
• żaden otwarty niepusty podzbiór $X$ nie jest pierwszej kategorii,
• wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
• dla każdych domkniętych zbiorów $F_{1},F_{2},F_{3},\dots \subseteq X,$ jeśli $\operatorname {int} {\big (}\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}{\big )}\neq \emptyset ,$ to $\operatorname {int} (F_{i})\neq \emptyset$ dla pewnego $i.$

Szczególna przestrzeń topologiczna

Definicja

Nazwa przestrzeń Baire’a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z $\mathbb {N}$ w $\mathbb {N} .$ Zbiór ten może być traktowany jako produkt $\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {N}$ przeliczalnie wielu kopii zbioru $\mathbb {N} .$ Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze $\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {N}$ możemy wprowadzić topologię produktową $\tau _{B}.$ Przestrzeń topologiczna $(\mathbb {N} ^{\mathbb {N} },\tau _{B})$ jest nazywana przestrzenią Baire’a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire’a jest często oznaczana przez $\omega ^{\omega }$ (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez $\omega$). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire’a jest oznaczana przez ${\mathcal {N}}.$ To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanie

• Przestrzeń Baire’a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych $f,g\in {\mathcal {N}}$ kładziemy $n(f,g)=\min\{n\in \mathbb {N} :f(n)\neq g(n)\}.$ Definiujemy

$d(f,g)=0$ jeśli $f=g$ oraz $d(f,g)=2^{-n(f,g)}$ w przeciwnym wypadku.

Łatwo można sprawdzić, że $d$ jest metryką zupełną na zbiorze $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ generującą topologię $\tau _{B}.$

• ${\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}$ jest homeomorficzne z ${\mathcal {N}}.$ I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni ${\mathcal {N}}$ jest homeomorficzny z ${\mathcal {N}}.$
• Przestrzeń ${\mathcal {N}}$ jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni $\mathbb {R}$).
• Przestrzeń ${\mathcal {N}}$ jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
• W dodatku do struktury topologicznej, ${\mathcal {N}}$ ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację $\leqslant ^{*}$ na ${\mathcal {N}}$ przez

$f\leqslant ^{*}g$ wtedy i tylko wtedy gdy ${\big (}\exists N\in \mathbb {N} {\big )}{\big (}\forall n\geqslant N{\big )}(f(n)\leqslant g(n){\big )}$

Wówczas $\leqslant ^{*}$ jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej ${\mathcal {N}}.$ Np. liczba dominująca ${\mathfrak {d}}$ występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów ${\mathcal {N}}$ potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• twierdzenie Baire’a
• zbiór pierwszej kategorii