Rachunek predykatów pierwszego rzędu (ang.first order predicate calculus) – system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu „dla każdej funkcji z X na Y…” (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), „istnieje własność p, taka że…” czy „dla każdego podzbioru X zbioru Z…”. Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów[1], ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).
Na przykład w rachunku predykatów pierwszego rzędu można zapisać zdanie „dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba większa”, jednak nie można zapisać „każdy zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny”, gdyż wówczas kwantyfikator ogólny musiałby przebiegać wszystkie możliwe podzbiory zbioru liczb rzeczywistych i potrzebny byłby rachunek predykatów co najmniej drugiego rzędu.
Rachunek predykatów pierwszego rzędu w ogólnym przypadku nie jest rozstrzygalny (w przeciwieństwie do rachunku zdań), lecz półrozstrzygalny (czyli rekurencyjnie przeliczalny), ale jeszcze nadaje się do komputerowej analizy (co już niekoniecznie można powiedzieć o rachunku predykatów wyższych rzędów, które dopuszczają kwantyfikatory dla zbiorów).
Znaczna część rozważań matematycznych może być sformalizowana na gruncie logiki pierwszego rzędu. Ponadto logika ta ma wiele własności czyniących ją bardziej użyteczną od innych logik, co ma wpływ na pewne preferowanie teorii formalizowalnych na jej gruncie.
W literaturze istnieje szereg równoważnych rozwinięć tego tematu. Prezentacja przedstawiona poniżej jest do pewnego stopnia oparta na książce Martina Goldsterna i Haima Judaha[2]. Wśród innych źródeł omawiających te zagadnienia należy wymienić podręcznik Witolda Pogorzelskiego[3], czy też książkę Zofii Adamowicz i Pawła Zbierskiego[4]. Bardzo popularnym jest też opracowanie Josepha Shoenfielda[5].
Logika pierwszego rzędu jest podstawą, na której formalizujemy większość matematyki. We wstępie do wspomnianej powyżej książki Goldsterna i Judaha traktującej właśnie o tej tematyce, Saharon Szelach napisał:
[Na gruncie matematyki] możemy zdefiniować czym jest dowód i wykazać, że w pewnym sensie „być prawdziwym” i „mieć dowód” znaczą to samo (twierdzenie Gödla o pełności). (…) Nie możemy wyciągnąć sami siebie z bagna za włosy: nie możemy udowodnić w naszym systemie, że nie ma w nim sprzeczności (twierdzenie Gödla o niezupełności) (…) Możemy zbudować ogólną teorię teorii matematycznych (teoria modeli).
System rachunku predykatów pierwszego rzędu składa się z:
zmiennych nazwowych (litery, za które wolno podstawić nazwy dowolnych przedmiotów),
Używając symboli wymienionych powyżej i przestrzegając naturalnych reguł, możemy budować poprawnie zbudowane napisy. Niektóre z tych napisów mogą być interpretowane jako nazwy na pewne obiekty, a inne będą mówić o własnościach tych obiektów. Pierwsza grupa napisów poprawnie zbudowanych to termy, a druga to zdania. Przykładowy schemat kwantyfikatorowy zdania: Nie ma czegoś, czym ciekawią się wszyscy…
(czyt.: Nie istnieje taki x, że x jest substratem wiedzy, i dla każdego y, że jeżeli y jest istotą rozumną, to y ciekawi się x).
Następnie ustalimy reguły wnioskowania, a także metody interpretacji naszych napisów.
Każdy język pierwszego rzędu jest zdeterminowany przez ustalenie alfabetu.
Niech będzie pewnym zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny, czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Zbiór będzie nazywany alfabetem naszego języka, a sam język wyznaczony przez ten alfabet będzie oznaczany przez Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle ).
Najpierw definiujemy termy języka jako elementy najmniejszego zbioru takiego, że:
wszystkie stałe i zmienne należą do
jeśli i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to
Następnie określamy zbiór formuł języka jako najmniejszy zbiór taki, że:
jeśli to wyrażenie należy do
jeśli zaś jest -arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie należy do
W formułach postaci i mówimy, że zmienna znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana. Przez indukcję po złożoności formuł rozszerzamy to pojęcie na wszystkie formuły, w których czy też pojawia się jako jedna z części użytych w budowie, ale ograniczamy się do występowań zmiennej w (i mówimy, że konkretne wystąpienie zmiennej jest wolne lub związane).
Zdanie w języku pierwszego rzędu to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, czyli znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.
Przypuśćmy, że i są termami języka oraz jest jedną ze zmiennych. Definiujemy podstawienie jako term, który powstaje z poprzez literalne zastąpienie w nim wszystkich egzemplarzy zmiennej termem
W przypadku zmiennej termu i formuły podstawienie definiuje się bardziej subtelnie, co najlepiej ująć indukcyjnie względem budowy formuły (por. [2]):
jeśli jest formułą atomową to
jeśli to gdzie
jeśli to
oraz
jeśli gdzie to jeśli oraz w przeciwnym wypadku.
Aby móc wysłowić niektóre z aksjomatów Rachunku Predykatów konieczne jest pewne ograniczenie operacji podstawiania w formule.
Mianowicie, powiadamy, że podstawienie termu w formule za zmienną jest dopuszczalne lub, że zmienna jest wolna dla termu w formule , ozn. gdy (nieformalnie) literalne wstawienie tego termu w rozważanej formule w miejscu któregoś z wolnych wystąpień zmiennej spowodowałoby związanie pewnej zmiennej termu (w szczególności zmienne niebędące wolnymi w danej formule są wolne w niej dla wszystkich termów).
Formalnie natomiast definiujemy to pojęcie indukcyjnie ze względu na budowę formuły następująco:
Rozważmy język ciał uporządkowanych Niech termami będą, odpowiednio oraz Rozważmy formułę Wówczas
to term
to term
to formuła i podstawienie termu za zmienną w jest dopuszczalne,
oraz są równokszałtne z przy czym podstawienie termu za zmienną jest niedopuszczalne, zaś podstawienie tego samego termu za zmienną jest dopuszczalne (choć nieskuteczne), bowiem zmienna ta nie jest wolna w rozważanej formule.
Niech będzie jakimś zbiorem formuł języka (możliwie pustym). Dowodem ze zbioru aksjomatów A nazywamy skończony ciąg formuł taki, że dla każdego
jest jedną z formuł z lub
jest aksjomatem logicznym, lub
może być wywnioskowana z w oparciu o regułę modus ponens. dla pewnych
Jeśli jest dowodem ze zbioru aksjomatów to powiemy, że formuła jest dowodliwa z A albo też że jest twierdzeniem z A i napiszemy wtedy Jeśli jest zbiorem pustym to możemy pominąć je w naszych oznaczeniach i napisać
Powiemy, że jest sprzecznym zbiorem aksjomatów, jeśli dla pewnej formuły mamy zarówno że jak i W przeciwnym razie mówimy, że jest niesprzeczny.
Przez indukcję po złożoności termów języka definiujemy interpretację termu w modelu . Dla termu o zmiennych wolnych zawartych wśród i dla elementów uniwersum modelu wprowadzamy następująco.
Przez indukcję po złożoności formuł języka definiujemy, kiedy formuła jest spełniona w modelu . Dla formuły o zmiennych wolnych zawartych wśród i elementów uniwersum modelu wprowadzamy relację (czyt. „formuła jest spełniona w modelu na elementach ”) następująco.
Jeśli jest formułą dla pewnych termów których zmienne wolne są zawarte wśród to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy elementy i zbioru są identyczne.
Jeśli jest formułą dla pewnych termów których zmienne wolne są zawarte wśród i k-arnego symbolu relacyjnego to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy elementy
Jeśli jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
Jeśli jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy lub
Jeśli jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy lub nie zachodzi, że
Jeśli jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy albo oba zdania i są prawdziwe, albo oba są fałszywe.
Jeśli jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie jest fałszywe.
Jeśli jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie jest prawdziwe dla każdego ciągu elementów uniwersum takich, że oraz ilekroć jest zmienną wolną w
Jeśli jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród to stwierdzimy, że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego ciągu elementów uniwersum takich, że oraz ilekroć jest zmienną wolną w mamy, że
Zazwyczaj podczas budowania zbioru aksjomatów matematycy mają na myśli jakiś konkretny model, który ma on opisywać. Niestety, najczęściej jeden zbiór aksjomatów posiada wiele nieizomorficznych modeli. „Właściwą” strukturę nazywa się wtedy modelem standardowym a każdą inną – modelem niestandardowym. Jedynie bardzo proste teorie posiadają dokładnie jeden model.
Fakt ten jest wadą logiki pierwszego rzędu. Dla większości teorii każdy skończony zbiór aksjomatów będzie zawsze nieprecyzyjny, tzn. nie będzie określał niektórych własności badanych obiektów i będzie można stworzyć zarówno model, gdzie taka własność zachodzi, jak i drugi model, gdzie ona nie zachodzi. Oba modele będą różne, ale jednak będą spełniać ten sam zestaw wyjściowych aksjomatów.
Modele niestandardowe można wyeliminować, ale potrzebne są do tego aksjomaty w logikach wyższego rzędu.
Każda aksjomatyzacja pierwszego rzędu liczb naturalnych posiada modele niestandardowe. W szczególności posiada je aksjomatyka Peana. Przykładem niestandardowego modelu aksjomatyki Peana są liczby hipernaturalne, czyli nieujemne liczby hiperrzeczywiste, które są równe swojej części całkowitej. Istnieją nawet przeliczalne modele niestandardowe arytmetyki. Dokładne opisanie takich modeli jest trudne, gdyż zarówno dodawanie, jak i mnożenie jest w nich nierozstrzygalne.
↑MartinM.GoldsternMartinM., The Incompleteness Phenomenon. A new course in mathematical logic, HaimH.Judah, Wellesley, Massachusetts: A K Peters, 1995, ISBN 1-56881-029-6, OCLC29254857.brak strony (książka)
↑Witold AdamW.A.PogorzelskiWitold AdamW.A., Klasyczny rachunek kwantyfikatorów, zarys teorii, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981, ISBN 83-01-00567-X, OCLC69480408.brak strony (książka)
↑Zofia Adamowicz, Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. „Pure and Applied Mathematics” (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. ISBN 0-471-06026-7.
↑Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic, Association for Symbolic Logic, 1967. ISBN 1-56881-135-7.
![{\displaystyle t^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}]\in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb896665f8ebe3fd4da1887d939ec4526943f2db)
![{\displaystyle t^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}]=c^{\mathcal {M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c62f83d4a0a347a81501a6f54d41e2a07b75ecf)
![{\displaystyle t^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}]=m_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784202c7e3c84a3704eaf54ab54564cc17009b09)
![{\displaystyle t^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}]=f^{\mathcal {M}}(t_{1}^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}],\dots ,t_{k}^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527444295f2bd7c3fb62294b6c91970eb3909b9a)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi [m_{1},\dots ,m_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592ba9b721892e351a0c2847bdcd8ccb1e166d88)
![{\displaystyle t_{1}^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c62ccdfc1ec408996d1a3c9a0baab9ac531337)
![{\displaystyle t_{2}^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ea54f85138ee1a65807284f130a0743a32a26e)
![{\displaystyle (t_{1}^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}],\dots ,t_{k}^{\mathcal {M}}[m_{1},\dots ,m_{n}])\in P^{\mathcal {M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b4eddba2b40dec09ecf237ccb525b1de24ceda)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \psi _{1}[m_{1},\dots ,m_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76093ae611e122fd59e3f91237a1186c79477000)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \psi _{2}[m_{1},\dots ,m_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea70d44be506f84444c9c36591e16e0fa76844a4)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \psi _{2}[m_{1},\dots ,m_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d83215f7a84bc4941397cf47194e6a310df1d6)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \psi _{1}[m_{1},\dots ,m_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db53436629e6ebdd6b75ab279901e66e59568d5)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \psi [m_{1},\dots ,m_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11321ddc28f4cd3ad9f0c3137755c9f097e524e)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \psi [m_{1}^{*},\dots ,m_{n}^{*},\dots ,m_{k}^{*}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af36c81d727b8772b8168ced9fb7ad6a72c4959a)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \psi [m_{1}^{*},\dots ,m_{n}^{*},\dots ,m_{k}^{*}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e890fe91d9535ace9e8bf6b2376c807e0578e7)