Twierdzenie o dedukcji
Twierdzenie o dedukcji – jeżeli jest zdaniem oraz to formuła zdaniowa należy do zbioru gdzie to zbiór wszystkich konsekwencji logicznych zbioru formuł zdaniowych
Definicja formalna edytuj
Niech będzie jakimkolwiek językiem rozszerzającym język klasycznego rachunku zdań i niech będzie rachunkiem zdaniowym w tym języku.
Klasycznym twierdzeniem o dedukcji dla rachunku nazywamy następujące stwierdzenie:
- Dla dowolnego zbioru formuł języka oraz dwu formuł zachodzi równoważność:
Prawdziwość twierdzenia o dedukcji wymaga wyprowadzalności reguły odrywania dla spójnika implikacji
Wyprowadzalność tej reguły nie jest niestety warunkiem wystarczającym do jego prawdziwości.
Niech bowiem
gdzie:
- – zbiór formuł języka klasycznego rachunku zdań,
- – reguła odrywania dla spójnika implikacji,
- – reguła podstawiania dla języka klasycznego rachunku zdań,
- – zbiór aksjomatów klasycznego rachunku zdań.
Wówczas
- chociaż w żadnym wypadku nie jest prawdą, że
- bo
- a nie jest tautologią.
Klasyczne twierdzenie o dedukcji jest prawdziwe m.in. w klasycznym i intuicjonistycznym rachunku zdań oraz w rachunku predykatów w ujęciu Endertona.