Rozkład Panjera (rozkład z klasy rozkładów Panjera) – dyskretny rozkład stosowany w matematyce ubezpieczeniowej do opisu liczby szkód w modelu ryzyka łącznego.
Rozkład Panjera
Parametry
a
,
b
{\displaystyle a,b}
Nośnik
N
∪
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}
Wartość oczekiwana (średnia)
a
+
b
1
−
a
{\displaystyle {\frac {a+b}{1-a}}}
Wariancja
a
+
b
(
1
−
a
)
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{(1-a)^{2}}}}
Odkrywca
Harry H. Panjer
Rozkłady Panjera określone są wzorem rekurencyjnym:
p
k
=
(
a
+
b
k
)
⋅
p
k
−
1
,
k
⩾
1.
{\displaystyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},\quad k\geqslant 1.}
gdzie
p
k
=
P
(
X
=
k
)
.
{\displaystyle p_{k}=P(X=k).}
Wartość
p
0
{\displaystyle p_{0}}
∑
k
=
0
∞
p
k
=
1.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.}
Opis klasy rozkładów Panjera
edytuj
Rozkłady Panjera to rozkłady spełniających założenia wzoru Panjera w jego podstawowej formie (tzn. przy
m
=
0
{\displaystyle m=0}
Rozkładami należącymi do klasy rozkładów Panjera są (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu
parametrów
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
rozkład Poissona (gdy
a
=
0
,
{\displaystyle a=0,}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
rozkład dwumianowy (gdy
a
<
0
,
{\displaystyle a<0,}
b
=
−
a
(
l
+
1
)
,
{\displaystyle b=-a(l+1),}
l
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle l=1,2,3,\dots }
rozkład ujemny dwumianowy (gdy
a
∈
(
0
,
1
)
,
{\displaystyle a\in (0,1),}
b
>
−
a
{\displaystyle b>-a}
rozkład zdegenerowany
p
0
=
1
{\displaystyle p_{0}=1}
b
=
−
a
{\displaystyle b=-a}
Rozkład
P
r
(
N
=
k
)
{\displaystyle Pr(N=k)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
p
0
{\displaystyle p_{0}}
W
N
(
x
)
{\displaystyle W_{N}(x)}
E
(
N
)
{\displaystyle E(N)}
V
a
r
(
N
)
{\displaystyle Var(N)}
dwumianowy
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}
−
p
1
−
p
{\displaystyle {\frac {-p}{1-p}}}
p
(
n
+
1
)
1
−
p
{\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}}
(
1
−
p
)
n
{\displaystyle (1-p)^{n}}
(
p
x
+
(
1
−
p
)
)
n
{\displaystyle (px+(1-p))^{n}}
n
p
{\displaystyle np}
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle np(1-p)}
Poissona
e
−
λ
λ
k
k
!
{\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}
0
{\displaystyle 0}
λ
{\displaystyle \lambda }
e
−
λ
{\displaystyle e^{-\lambda }}
e
λ
(
s
−
1
)
{\displaystyle e^{\lambda (s-1)}}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
{\displaystyle \lambda }
ujemny dwumianowy
Γ
(
r
+
k
)
k
!
Γ
(
r
)
p
r
(
1
−
p
)
k
{\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}}
1
−
p
{\displaystyle 1-p}
(
1
−
p
)
(
r
−
1
)
{\displaystyle (1-p)(r-1)}
p
r
{\displaystyle p^{r}}
(
p
1
−
x
(
1
−
p
)
)
r
{\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}}
r
(
1
−
p
)
p
{\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}
r
(
1
−
p
)
p
2
{\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}
Można wykazać[1]
b
<
−
a
,
{\displaystyle b<-a,}
a
⩾
1
,
{\displaystyle a\geqslant 1,}
b
>
−
a
,
{\displaystyle b>-a,}
a
<
0
,
{\displaystyle a<0,}
b
>
−
1.
{\displaystyle b>-1.}
Zachodzi ponadto:
V
a
r
(
X
)
E
(
X
)
=
1
1
−
a
{\displaystyle {\frac {Var(X)}{E(X)}}={\frac {1}{1-a}}}
oraz
V
a
r
(
X
)
>
E
(
X
)
⟺
a
>
0
,
{\displaystyle Var(X)>E(X)\iff a>0,}
V
a
r
(
X
)
=
E
(
X
)
⟺
a
=
0
,
{\displaystyle Var(X)=E(X)\iff a=0,}
V
a
r
(
X
)
<
E
(
X
)
⟺
a
<
0.
{\displaystyle Var(X)<E(X)\iff a<0.}
W 1981 roku Bjørn Sundt i William S. Jewell uogólnili wzór Panjera wprowadzając parametr
m
{\displaystyle m}
(
p
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
[1] klasą Sundta-Jewella [2]
↑ a b B. B. Sundt B. B. , W.S. W.S. Jewell W.S. W.S. , Further results on recursive evaluation of compound distributions International Actuarial Association , 1981, s. 27–39 (ang. ) .??? ↑ Harry H. Panjer. Sundt and Jewell Class of Distributions . „Encyclopedia of Actuarial Science”, 2006-09-15. John Wiley & Sons, Ltd.. DOI : 10.1002/9780470012505.tas040 . (ang. ) . Bibliografia
edytuj
Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe . Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4 .(pol. ) . brak strony w książce 
