Rozkład arcusa sinusa

Rozkład arcusa sinusa – rozkład prawdopodobieństwa, którego dystrybuanta wyraża się wzorem

Rozkład arcusa sinusa

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Nośnik	$x\in [0,1)$
Gęstość prawdopodobieństwa	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$
Dystrybuanta	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {1}{2}}$
Mediana	${\frac {1}{2}}$
Moda	$x\in \{0,1\}$
Wariancja	${\tfrac {1}{8}}$
Współczynnik skośności	0
Kurtoza	$-{\tfrac {3}{2}}$
Entropia	$\ln {\tfrac {\pi }{4}}$
Funkcja tworząca momenty	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
Funkcja charakterystyczna	${}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)$

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} ).$

Rozkład arcusa sinusa jest szczególnym przypadkiem rozkładu beta o parametrach $\alpha =\beta =1/2$ i wyraża on czas pobytu po stronie dodatniej w procesie Wienera na odcinku [0,1].

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.brak strony w książce