Suma zdarzeń – zdarzenie losowe , które zachodzi wtedy, gdy zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń je tworzących.
Definicja formalna
edytuj
Niech
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
przestrzenią probabilistyczną . Sumą zdarzeń
A
i
∈
F
,
i
∈
I
{\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}},\ i\in I}
⋃
i
∈
I
A
i
.
{\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}A_{i}.}
W przypadku skończonej liczby zdarzeń
A
1
,
A
2
,
…
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots A_{n}}
A
1
∪
A
2
…
A
n
.
{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\dots A_{n}.}
Niech zbiorem zdarzeń elementarnych będzie zbiór wszystkich wyników rzutu kostką. Sumą zdarzeń „wypadła parzysta liczba oczek”, tzn.
A
=
{
2
,
4
,
6
}
{\displaystyle A=\{2,4,6\}}
B
=
{
2
,
3
,
5
}
{\displaystyle B=\{2,3,5\}}
A
∪
B
=
{
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
.
{\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6\}.}
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
edytuj
Jeżeli
P
{\displaystyle P}
prawdopodobieństwem określonym na pewnej przestrzeni probabilistycznej ,
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
.
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}
Dla trzech zdarzeń
A
,
B
,
C
:
{\displaystyle A,B,C{:}}
P
(
A
∪
B
∪
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
−
P
(
A
∩
B
)
−
P
(
B
∩
C
)
−
P
(
A
∩
C
)
+
P
(
A
∩
B
∩
C
)
.
{\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C).}
Oba wzory są szczególnym przypadkiem tak zwanego wzoru włączeń i wyłączeń , który dla
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}
P
(
A
1
∪
A
2
∪
…
∪
A
n
)
{\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n})}
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
…
+
P
(
A
n
)
−
P
(
A
1
∩
A
2
)
−
…
+
P
(
A
1
∩
A
2
∩
A
3
)
+
…
−
P
(
A
1
∩
A
2
∩
A
3
∩
A
4
)
…
{\displaystyle =P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})-P(A_{1}\cap A_{2})-\ldots +P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})+\ldots -P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})\dots }
Kropki oznaczają wszystkie możliwe iloczyny zdarzeń po dwa, trzy i tak dalej (do zrozumienia jak korzystać z tego wzoru, przydatna jest analiza użycia w przypadku trzech zdarzeń).
