Transformata Legendre’a (całkowa)

Transformata Legendre’a – transformata całkowa funkcji określonych na przedziale $[-1,1],$ której jądrem jest pewien wielomian Legendre’a. Pojęcie zostało wprowadzone w roku 1954 przez Ruela Vance’a Churchilla.

Definicja formalna

Niech $n$ będzie liczbą naturalną oraz $P_{n}$ będzie $n$-tym wielomianem Legendre’a. Jeżeli $f\colon [-1,1]\to \mathbb {C}$ jest funkcją mierzalną, to jej ($n$-tą) transformatą Legendre’a nazywamy funkcję

${\mathcal {J}}_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}P_{n}(x)f(x)\,dx,$

o ile tylko całka po prawej stronie istnieje.

Transformata Legendre’a znajduje zastosowanie w przedstawianiu funkcji $f$ na przedziale $[-1,1]$ w postaci szeregu

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}P_{n}(x),$

gdzie:

$a_{n}={\frac {2n+1}{2}}\int \limits _{-1}^{1}P_{n}(x)f(x)\,dx={\frac {2n+1}{2}}{\mathcal {J}}_{n}(f).$

Przedstawienie to jest analogiczne do szeregu Fouriera danych funkcji względem układu trygonometrycznego, którego rolę w tym wypadku pełni układ wielomianów Legendre’a.

Bibliografia

• Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, Integral Transforms and Their Applications Chapman & Hall/CRC; wydanie drugie (2006), s. 486–498.