Twierdzenie Cevy (trygonometryczne)

Wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy pozwala na pokazanie, że proste Cevy w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, gdy mamy pewne dane o kątach, ale nie mamy danych o tym, w jakim stosunku te proste dzielą boki trójkąta.

Treść

Jeżeli proste Cevy $AD,$ $BE,$ $CF$ w trójkącie $ABC$ przecinają się w jednym punkcie, to przy oznaczeniach kątów jak na rysunku zachodzi równość:

$\sin \alpha _{1}\cdot \sin \beta _{1}\cdot \sin \gamma _{1}=\sin \alpha _{2}\cdot \sin \beta _{2}\cdot \sin \gamma _{2}.$

Dowód

Z twierdzenia Cevy mamy:

${\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1.$

Z twierdzenia sinusów mamy:

${\frac {|AF|}{|AC|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \angle AFC}}$

oraz

${\frac {|FB|}{|BC|}}={\frac {\sin \gamma _{1}}{\sin \angle BFC}},$

$\sin \angle BFC=\sin \angle AFC,$ (kąty przyległe),

więc

${\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {AC}{BC}}.$

Podobnie

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {AB}{AC}},$

${\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}\cdot {\frac {BC}{AB}}.$

Mnożąc stronami, dostajemy

$1={\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}.$

Twierdzenie odwrotne

Jeżeli proste Cevy spełniają przy oznaczeniach jak na rysunku

$\sin \alpha _{1}\cdot \sin \beta _{1}\cdot \sin \gamma _{1}=\sin \alpha _{2}\cdot \sin \beta _{2}\cdot \sin \gamma _{2},$

to przecinają się w jednym punkcie.

Dowód

Dowód prowadzimy korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy i analogicznie za pomocą zależności

${\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {AC}{BC}},$

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {AB}{AC}},$

${\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}\cdot {\frac {BC}{AB}},$

sprowadzamy równość

${\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1$

do postaci trygonometrycznej

$1={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}.$

Zastosowania

Za pomocą twierdzenia można łatwo udowodnić, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się dwusieczne, symediany, wysokości, środkowe. Nie znaczy to jednak, że punkty przecięcia np. wysokości i symetralnych są tym samym punktem. Taki przypadek występuje tylko w trójkącie równobocznym.

Zobacz też

• twierdzenie Cevy