Twierdzenie Dieudonnégo-Grothendiecka

Twierdzenie Dieudonnégo-Grothendiecka – twierdzenie charakteryzujące ograniczone miary wektorowe określone na σ-ciałach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwisk matematyków: Jeana Dieudonnégo i Alexandra Grothendiecka.

Twierdzenie

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru $\Omega ,$ $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $\Gamma \subseteq X^{*}$ będzie podzbiorem przestrzeni sprzężonej, którego elementy rozdzielają punkty w $X.$ Jeżeli $\nu$ jest taką funkcją rzeczywistą na ${\mathcal {A}},$ że dla każdego $x^{*}\in \Gamma$ złożenie $x^{*}\circ \nu$ jest ograniczoną i skończenie addytywną funkcją zbiorów, to $\nu$ jest miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu.

Dowód

Z założenia, że funkcjonały w $\Gamma$ rozdzielają punkty w $X$ wynika, że $\nu$ jest miarą wektorową. By wykazać, że $\nu$ jest ograniczona, używając twierdzenia Nikodyma o ograniczoności, wystarczy udowodnić, że dla każdego funkcjonału $x^{*}\in X^{*}$ złożenie $x^{*}\circ \nu$ jest ograniczoną funkcją zbiorów. Niech

$M=\{x^{*}\in x^{*}\colon \|x^{*}\circ \nu \|_{1}(\Omega )<\infty \},$

gdzie $\|\cdot \|_{1}$ oznacza wahanie miary. Zbiór $M$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X^{*}.$ Z założenia, $\Gamma \subseteq M,$ a więc podprzestrzeń $M$ jest gęsta w $X^{*}$ w *-słabej topologii. Na mocy twierdzenia Krejna-Szmuljana wystarczy pokazać, że zbiór

$M_{1}=M\cap \{x^{*}\in x^{*}\colon \|x^{*}\|\leqslant 1\}$

jest *-słabo domknięty, gdyż wówczas cała przestrzeń $M$ będzie taka, a ponieważ jest ona *-słabo gęsta, $M=X^{*}.$

Niech $A\in {\mathcal {A}}.$ Wówczas

$\sup _{x^{*}\in M_{1}}|(x^{*}\circ \nu )(A)|\leqslant \|\nu (A)\|<\infty .$

Z twierdzenia Nikodyma o ograniczoności wynika, że

$\sup _{x^{*}\in M_{1}}\sup _{A\in {\mathcal {A}}}|(x^{*}\circ \nu )(A)|=C<\infty .$

Niech $(x_{\alpha }^{*})$ będzie siecią elementów zbioru $M_{1}$ zbieżną *-słabo do pewnego funkcjonału $x^{*}\in X^{*}.$ Wówczas $\|x^{*}\|\leqslant 1.$ Ponadto

$|(x^{*}\circ \nu )(A)|=\lim _{\alpha }|(x_{\alpha }^{*}\circ \nu )(A)|\leqslant C$

dla wszystkich $A\in {\mathcal {A}}.$ Oznacza to, że

$\|x^{*}\circ \nu \|_{1}(\Omega )<\infty ,$

tj. $x^{*}\in M_{1}$.

Bibliografia

• Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.