Twierdzenie Jordana-Dehna

Twierdzenie Jordana-Dehna – twierdzenie mówiące, że łamana zamknięta rozcina płaszczyznę na dwa obszary i jest ich wspólnym brzegiem. Szczególny przypadek twierdzenia o krzywej Jordana.

Dowód

Niech $L$ będzie łamaną zamkniętą na płaszczyźnie euklidesowej $E^{2},$ a $k$ niech będzie prostą o kierunku różnym od kierunków prostych zawierających boki łamanych. Prosta $k$ oraz jedna z prostych do niej prostopadłych wyznaczają układ współrzędnych kartezjańskich, w których prosta $k$ jest osią odciętych. Przy takim wyborze osi odciętych każda prosta do niej równoległa może przeciąć dowolny bok łamanej w co najwyżej jednym punkcie.

Nieregularna łamana zamknięta i punkty o różnych indeksach względem niej.

Indeksem punktu $z=(x_{z},y_{z})\in E^{2}\setminus L$ względem łamanej $L$ jest funkcja

$\operatorname {ind} _{L}(z):E^{2}\setminus L\to \mathbb {R} ,$

która przyjmuje wartość:

• 0 jeśli półprosta ${\big \{}(x,y):x\geqslant x_{z},y=y_{z}{\big \}}$ przechodząca przez punkt $z$ przecina łamaną w parzystej liczbie punktów,
• 1 jeśli półprosta ${\big \{}(x,y):x\geqslant x_{z},y=y_{z}{\big \}}$ przechodząca przez punkt $z$ przecina łamaną w nieparzystej liczbie punktów.

Przy tym nie są liczone przecięcia w tych wierzchołkach, w których oba boki łamanej wychodzące z wierzchołka znajdują się po jednej stronie prostej.

Na rysunku punkty $z_{1}$ i $z_{2}$ mają względem pomarańczowej krzywej indeks 0, a pozostałe mają indeks 1.

Indeks ma dwie własności:

1. Przyjmuje obie wartości.
2. Jest funkcją lokalnie stałą, czyli jeśli przyjmuje wartość w pewnym punkcie, to przyjmuje ją w pewnym jego otoczeniu.

Dowód własności 1. Przede wszystkim trzeba udowodnić, że istnieje półprosta równoległa do osi odciętych, która przecina łamaną $L$ w co najmniej dwóch punktach. Łamana ma skończoną liczbę $n$ wierzchołków: $z_{1}=(x_{1},y_{1}),z_{2}=(x_{2},y_{2}),\dots z_{n}=(x_{n},y_{n}).$ Gdyby taka półprosta nie istniała, to niech $\{i_{1},i_{2},\dots i_{n}\}$ będzie taką permutacją indeksów $\{1,2,\dots n\},$ że $y_{i_{1}}>y_{i_{2}}>\ldots >y_{i_{n}}.$ Wierzchołek $z_{i_{1}}$ jest połączony bokami łamanej z dwoma wierzchołkami $z_{i_{r}},z_{i_{s}},$ gdzie $y_{i_{r}}>y_{i_{s}}.$ Niech

$x_{min}=\min \limits _{i=1,\dots ,n}x_{i},$

$z_{0}=(x_{0},y_{0})=\left(x_{min},{\frac {y_{i_{1}}+y_{i_{r}}}{2}}\right).$

Wtedy półprosta

${\big \{}(x,y):x\geqslant x_{0},y=y_{0}{\big \}}$

przecina bok łamanej o końcach $z_{i_{1}},z_{i_{r}}$ w punkcie

$z'=\left({\frac {x_{i_{1}}+x_{i_{r}}}{2}},{\frac {y_{i_{1}}+y_{i_{r}}}{2}}\right).$

Nie przecina natomiast odcinka o końcach $z_{i_{r}},z_{i_{s}},$ bo

${\frac {y_{i_{1}}+y_{i_{r}}}{2}}>y_{i_{r}}>y_{i_{s}}.$

Z aksjomatu Pascha zastosowanego do trójkąta o wierzchołkach $z_{i_{1}},z_{i_{r}},z_{i_{s}}$ wynika, że półprosta ta przecina drugi bok łamanej o wierzchołkach $z_{i_{1}},z_{i_{s}}.$ Znaleźliśmy półprostą przecinającą łamaną $L$ w dwóch punktach.

Niech ${\mathfrak {p}}=zz_{1}^{\to }$ będzie półprostą o początku w punkcie $z$ równoległą do osi odciętych, przecinającą łamaną w co najmniej dwóch punktach $z_{1},z_{2}.$ Ponieważ łamana ma skończoną liczbę $n$ boków, więc półprosta ma co najwyżej $n$ punktów przecięcia z łamaną i można założyć, że punkty $z_{1},z_{2}$ są punktami kolejnymi. Jeśli $z_{0}$ leży między punktami $z_{1}$ i $z_{2},$ liczba punktów przecięcia półprostej ${\mathfrak {p}}$ jest o 1 większa od punktów przecięcia półprostej ${\mathfrak {p'}}=z_{0}z_{1}^{\to },$ czyli $\operatorname {ind} _{L}(z)\neq \operatorname {ind} _{L}(z_{0}),$ co kończy dowód własności 1.

Dowód własności 2. Ponieważ łamana $L$ jako suma odcinków domkniętych (wraz z końcami) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc jest podzbiorem zwartym płaszczyzny i dlatego dla każdego punktu $z=(x_{z},y_{z})\in E^{2}\setminus L$ istnieje taki prostokąt ${\mathcal {P}}={\big \{}(x,y):|x-x_{z}|\leqslant a,|y-y_{z}|\leqslant a{\big \}},$ że:

Półprosta odpowiadająca punktowi $z$' ma o 4 punkty przecięcia więcej niż półprosta odpowiadająca punktowi $z.$ Ich indeksy są takie same.

${\mathcal {P}}\cap L=\varnothing ,$

zbiór ${\mathcal {P'}}={\big \{}(x,y):|y-y_{z}|\leqslant a{\big \}}$ zawiera tylko te wierzchołki łamanej, które leżą na prostej ${\big \{}(x,y):y=y_{z}{\big \}}.$

Wtedy dla każdego punktu $z'\in {\mathcal {P}}$

$\operatorname {ind} _{L}(z)=\operatorname {ind} _{L}(z'),$

bo liczba punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt $z'$ różni się o co najwyżej parzystą liczbę od liczby punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt $z.$

Z obu tych własności wynika, że dopełnienie łamanej $L$ jest sumą dwóch zbiorów otwartych $f^{-1}(0),$ $f^{-1}(1).$ W dowolnym otoczeniu każdego punktu łamanej $L$ można znaleźć punkty obu tych zbiorów. Dlatego łamana ta jest ich wspólnym brzegiem.

Wniosek

1. Każda łamana zamknięta jest brzegiem pewnej figury ograniczonej. Nazywamy ją wielokątem.

Bibliografia

• Jerzy Mioduszewski. Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. „Skrypty Uniwersytetu Śląskiego”, 1994. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego. ISSN 0239-6432. brak numeru strony
• Courant R., Robbins H.: Co to jest matematyka?. Warszawa: PWN, 1959.brak strony w książce