Twierdzenie Markowa-Kakutaniego

Twierdzenie Markowa-Kakutaniego – twierdzenie o punkcie stałym udowodnione przez Andrieja Markowa oraz Shizuo Kakutaniego mówiące o istnieniu wspólnego punktu stałego dla półgrupy ciągłych operatorów afinicznych określonych na wypukłym, zwartym podzbiorze przestrzeni lokalnie wypukłej.

Twierdzenie

Niech $E$ będzie przestrzenią lokalnie wypukłą oraz niech $C\subseteq E$ będzie zbiorem wypukłym i zwartym. Niech $S$ będzie rodziną operatorów afinicznych $T\colon C\to C,$ które ze sobą komutują, tj. $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}$ dla $T_{1},T_{2}\in S.$ Wówczas operatory te mają wspólny punkt stały, tj. istnieje taki $x\in C,$ że $Tx=x$ dla wszystkich $T\in S.$

Dowód

Istnienie punktu stałego dla jednego operatora

Niech $T\colon C\to C$ będzie operatorem afinicznym. Dla $x\in C$ niech

$x_{N}={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}T^{n}(x)\quad (N\in \mathbb {N} ).$

Wówczas $x_{N}\in C.$ Ze zwartości $C$ wynika, że ciąg $(x_{N})$ ma podciąg uogólniony $(x_{N_{i}})$ zbieżny do pewnego $y\in C.$ Punkt $y$ jest punktem stałym dla $T,$ tj. $Ty=y.$ Rzeczywiście, z lokalnej wypukłości przestrzeni $E$ wystarczy wykazać, że

$\langle f,Ty\rangle =\langle f,y\rangle \quad (f\in E^{*}),$

gdyż ciągłe funkcjonały liniowe na $E$ rozdzielają punkty $E$ (tj. dla dowolnej pary różnych punktów $x,$ $y\in E$ istnieje taki ciągły funkcjonał liniowy $f$ na $E,$ dla którego $f(x)\neq f(y)$). Niech $f\in E^{*}.$ Ze zwartości $C,$ $f$ jest ograniczony na $C$ przez pewną stałą $M.$ Z drugiej strony

${\big |}\langle f,Tx_{N}\rangle -\langle f,x_{N}\rangle {\big |}={\tfrac {1}{N+1}}{\big |}\langle f,T^{N+1}x\rangle -\langle f,x\rangle {\big |}\leqslant {\tfrac {2M}{N+1}}\quad (N\in \mathbb {N} ).$

W szczególności dla $N=N_{i},$ przechodząc do granicy podciągu uogólnionego, dostaje się tezę.

Przypadek ogólny

Dla każdego $T\in S$ zbiór punktów stałych $C_{T}$ operatora $T$ jest niepusty, ale także wypukły i zwarty. Ponadto

$T_{1}(C_{T_{2}})\subseteq C_{T_{2}}\quad (T_{1},T_{2}\in S),$

z uwagi na to, że $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}$ dla $T_{1},T_{2}\in S.$ W szczególności, dla każdego skończonego podzbioru $F\subseteq S,$ mamy

$\bigcap _{T\in F}C_{T}\neq \varnothing .$

Rodzina $\{C_{T}:T\in S\}$ składająca się zwartych podzbiorów przestrzeni zwartej $C$ ma własność skończonych przekrojów, a więc jej część wspólna jest niepusta. Oznacza to, że element należący do części wspólnej tej rodziny jest wspólnym punktem stałym dla operatorów z $S.$