Twierdzenie Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta $\triangle ABC$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

${\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}={\frac {|CL|}{|BC|}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}.$

Stąd

$\sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ.$

Ponieważ

${\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}},$

więc $\triangle AMN$ i $\triangle ACZ$ są podobne. Zatem

$|MN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.$

Analogicznie pokazujemy, że $\triangle BLN$ i $\triangle BCZ$ są podobne, więc

$|LN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.$

Stąd $|LN|=|MN|.$ Analogicznie pokazujemy, że $|LN|=|LM|,$ więc $\triangle LMN$ jest równoboczny.

Zobacz też

• punkt Fermata
• problem Napoleona
• twierdzenie van Aubela