Funkcja uwikłana

Funkcja uwikłana – funkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju $y=f(x),$ ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako $F(x,y)=0$.

Definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D\subseteq X\times Y$ oraz $f\colon D\to Y$ będzie ciągła. Każdą funkcję $\varphi \colon U\to Y,$ gdzie $U$ jest pewnym podzbiorem $X,$ spełniającą dla każdego $x\in U$ równanie $f(x,\varphi (x))=0$ nazywamy funkcją uwikłaną funkcji $f$ albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie $f(x,y)=0.$

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania $f(x,y)=0$ względem $y.$

Przykłady

• Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta $x$ tego punktu równa jest $x=r\cdot (t-\sin t).$ Parametr $t$ oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość $t$ utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej $x$ odpowiada innej chwili $t.$ Można więc mówić o funkcji $\varphi ,$ która przypisuje każdej pozycji punktu $x$ cykloidy wartość $t$ – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji $x.$ Funkcja $\varphi$ nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci $t=\varphi (x)$ jest to funkcja uwikłana przez równanie $x=r\cdot (t-\sin t).$

• Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech $U$ oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś $I$ natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe $I,$ zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: $U=U_{d}+U_{r}.$ Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem $U_{r}$ na oporniku i płynącym przezeń prądem  $I,$

$I={\frac {U_{r}}{R}},$

gdzie $R$ oznacza wartość rezystancji.

Związek pomiędzy napięciem $U_{d}$ panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:

$I=I_{S}\cdot \left(e^{\frac {U_{d}}{c}}-1\right),$

w którym $I_{S},c$ – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś $e$ – podstawa logarytmu naturalnego.

Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:

$U_{r}=I\cdot R,$

$U_{d}=c\cdot \ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)$

To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem $U$ przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu $I$

$U=I\cdot R+c\cdot \ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)\quad {}$ $(\star ).$

Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie $(\star ).$

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji $y=\varphi (x),$ która jest określona w pewnym otoczeniu punktu $x=x_{0},$ spełnia w tym otoczeniu warunek $f(x,\varphi (x))=0$ oraz $\varphi (x_{0})=y_{0}.$ Jest to możliwe tylko wtedy, gdy $x_{0}$ i $y_{0}$ są tak dobrane, że $f(x_{0},y_{0})=0.$ Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli $D\subseteq X\times Y$ jest zbiorem otwartym, a $f\colon D\to Y$ funkcją klasy $C_{1}$ i dla pewnego punktu $(x_{0},y_{0})\in D$

$f(x_{0},y_{0})=0$ oraz pochodna cząstkowa ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\in \operatorname {Isom} (Y;Y),$

to istnieją liczby $\delta >0$ i $\eta >0$ oraz funkcja $\varphi \colon k(x_{0},\delta )\to k(y_{0},\eta )$ klasy $C_{1},$ że

1. $k(x_{0},\delta )\times k(y_{0},\eta )\subseteq D,$
2. dla każdego punktu $x\in k(x_{0},\delta )$ jedynym punktem $y\in k(y_{0},\eta )$ spełniającym równanie $f(x,y)=0$ jest punkt $y=\varphi (x).$

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D\subseteq X\times Y$ będzie zbiorem otwartym oraz $f\colon D\to Y$ funkcją klasy $C_{1}$ taką, że różniczka cząstkowa ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\in \operatorname {Isom} (Y;Y)$ dla każdego $(x,y)\in D.$ Dalej niech dana będzie funkcja ciągła $\psi \colon U\to Y,$ gdzie $U$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni $X.$ Jeżeli dla każdego $x\in U$

$(x,\psi (x))\in D$ oraz $f(x,\psi (x))=0,$

to $\psi$ jest funkcją klasy $C_{1}$ i dla każdego $x\in U$ różniczka:

$d\psi (x)=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\psi (x))\right)^{-1}\circ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\psi (x)).$

Funkcje rzeczywiste

Niech $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja $f\colon D\to \mathbb {R}$ jest klasy $C_{1}$ i dla pewnego punktu $(x_{0},y_{0})\in D$ spełnia warunki:

$f(x_{0},y_{0})=0$ oraz ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,$

to w pewnym otoczeniu punktu $x_{0}$ istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła $y=\varphi (x),$ spełniająca warunki $y_{0}=\varphi (x_{0})$ oraz $f(x,\varphi (x))=0$ dla $x$ z tego otoczenia.

Ponadto jeśli w otoczeniu punktu $(x_{0},y_{0})$ istnieje ciągła pochodna cząstkowa ${\frac {\partial f}{\partial x}},$ to funkcja uwikłana $y=\varphi (x)$ ma ciągłą pochodną daną wzorem

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.$

Inne twierdzenia

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech $X,Y,Z$ będą przestrzeniami Banacha, $U\subseteq X,V\subseteq Y$ będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli $\varphi \colon U\to V,\psi \colon V\to Z$ są funkcjami klasy $C_{1}$ takimi, że

1. $\varphi (0)=0,\psi (0)=0,$
2. $\psi \circ \varphi \equiv 0,$
3. $\operatorname {im} \;d\varphi (0)=\ker \;d\psi (0)$
4. $\operatorname {im} \;d\psi (0)$ jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera $W\subseteq V,$ że

$\psi ^{-1}(0)\cap W=\varphi (U)\cap W.$

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.brak strony w książce
• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.brak strony w książce
• Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, s. 627–643.

Linki zewnętrzne

• Prezentacja na temat funkcji uwikłanych, wraz z przykładem wykorzystania ich w ekonomii. gwsp.gliwice.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-04-01)].