Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie

Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie – twierdzenie algebry liniowej mówiące o możliwości przedłużenia funkcji określonej na wektorach bazowych danej przestrzeni liniowej do przekształcenia liniowego określonego na całej przestrzeni. Dokładniej, jeżeli $B$ jest bazą przestrzeni liniowej $V,$ a $W$ jest dowolną przestrzenią liniową nad tym samym ciałem co $V,$ zaś $\mathrm {f} \colon B\to W$ jest dowolną funkcją, to istnieje takie przekształcenie liniowe $\mathrm {T} \colon V\to W,$ że $\mathrm {T} (\mathbf {b} _{i})=\mathrm {f} (\mathbf {b} _{i})$ dla każdego elementu $\mathbf {b} _{i}$ bazy $B.$

Przykład

Aksjomat wyboru jest równoważny istnieniu bazy dowolnej przestrzeni liniowej. Ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; w szczególności $\mathbb {R}$ jest przestrzenią liniową nad $\mathbb {Q} ,$ której baza $B$ (nazywana czasem bazą Hamela) jest mocy continuum. Korzystając z twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie nieciągłego rozwiązania równania Cauchy’ego, tj. istnienie takiej funkcji $f,$ która spełniałaby równość $f(x+y)=f(x)+f(y)$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x,y.$ Prosta rzeczywista jest ośrodkowa (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na $\mathbb {R}$ jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje $|\mathbb {R} |^{|\mathbb {Q} |}={\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ funkcji ciągłych na $\mathbb {R} ,$ przy czym symbole $\aleph _{0}$ oraz ${\mathfrak {c}}$ oznaczają odpowiednio pierwszą nieskończoną liczbę kardynalną oraz liczbę kardynalną continuum. Z drugiej strony istnieje $|\mathbb {R} |^{|B|}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}$ funkcji rzeczywistych, określonych na $B.$ Z twierdzenia Cantora wynika, że ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}\geqslant 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$ (słaba nierówność jest w istocie równością). Do przekształcenia liniowego (spełniającego równanie Cauchy’ego z definicji) można przedłużyć dowolną funkcję $f\colon B\to \mathbb {R} .$ Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, to istnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy’ego.

Bibliografia

• Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 2003, ISBN 0-13-087868-5, s. 323.