Twierdzenie o residuach

Twierdzenie o residuach – twierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych – konkretniej całek okrężnych – funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy’ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zeru). Twierdzenie o residuach umożliwia obliczenie niektórych bardziej złożonych całek rzeczywistych.

Twierdzenie

Ilustracja założeń twierdzenia

Niech $U$ będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej $\mathbb {C} ,$ a ponadto $a_{1},\dots ,a_{n}\in U$ oraz $f:U\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$ będzie funkcją holomorficzną.

Jeżeli $\gamma$ jest zamkniętą krzywą prostowalną zawartą w $U\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\},$ to

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$

Jeśli $\gamma$ jest krzywą Jordana, to $\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})=1$ więc

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).$

Powyżej, $\operatorname {Res} (f,a_{k})$ oznacza residuum funkcji f w $a_{k},$ a $\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})$ to indeks punktu $a_{k}$ względem krzywej $\gamma .$

Zobacz też

• wzór całkowy Cauchy’ego

Bibliografia

• Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 185–188, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.