Zbiór Julii

Zbiór Julii i zbiór Fatou – dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.

Przykład zbioru Julii, Re(c)>0

Przykład zbioru Julii, Re(c)<0

Zbiór Julii dla $c\doteq -0{,}73+0{,}19i$

Zbiór Julii dla $c\doteq -0{,}10+0{,}65i$

Zbiór Julii funkcji $f$ jest powszechnie oznaczany jako J(ƒ), a zbiór Fatou jako F(ƒ). Nazwy zbiorów pochodzą od nazwisk francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre’a Fatou, którzy w latach 1918–1920 badali własności układów dynamicznych opisanych funkcją wymierną.

Definicja

Niech $f(z)$ będzie zespoloną funkcją wymierną odwzorowującą całą płaszczyznę zespoloną na nią samą, tj. $f(z)=p(z)/q(z),$ gdzie $p(z)$ i $q(z)$ są wielomianami zespolonymi. Wtedy istnieje skończona liczba otwartych zbiorów $F_{i},i=1,\dots ,r,$ które są niezmiennicze przez $f(z)$ i są takie, że:

1. suma zbiorów $F_{i}$ jest zbiorem gęstym i
2. $f(z)$ zachowuje się w sposób regularny i taki sam w każdym ze zbiorów $F_{i}.$

Ostatnie stwierdzenie oznacza, że końce ciągów generowanych iteracyjnie dla punktów $F_{i}$ są dokładnie takie same jak w zadanym zbiorze, który jest wtedy skończonym cyklem, albo są skończonym cyklem skończonych lub pierścieniowych kształtów zbiorów leżących koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl jest „przyciągający”, a w drugim „neutralny”.

Zbiory $F_{i}$ są dziedziną Fatou funkcji $f(z),$ a ich suma jest zbiorem Fatou $F(f)$ funkcji $f(z).$ Każdy zbiór tworzący dziedzinę Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny $f(z),$ tj. (skończony) punkt $z$ spełniający $f'(z)=0,$ lub $z=\infty ,$ jeśli stopień wielomianu licznika $p(z)$ jest co najmniej o dwa stopnie wyższy niż stopień wielomianu mianownika $q(z)$ lub jeśli $f(z)=1/g(z)+c$ dla pewnej stałej $c$ i funkcja $g(z)$ spełnia ten warunek.

Dopełnienie zbioru $F(f)$ nazywa się zbiorem Julii $J(f)$ funkcji $f(z)$. Zbiór $J(f)$ jest:

• nieprzeliczalny – jego moc jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych,
• nigdzie gęsty – nie zawiera punktów wewnętrznych.

Oba zbiory $F(f)$ i $J(f)$ są w pełni niezmiennicze.

Wielomiany kwadratowe

Zbiór tworzą te punkty $p\in \mathbb {C} ,$ dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

$z_{0}=p,$

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$

nie dąży do nieskończoności:

$\lim _{n\to \infty }z_{n}\neq \infty ,$

gdzie $c$ – liczba zespolona będąca parametrem zbioru.

Można wykazać, że jest to równoważne z:

$\forall _{n\in \mathbb {N} }|z_{n}|<2.$

Podsumowując jednym zdaniem:

$J(c)=\{p\in \mathbb {C} :\forall _{n\in \mathbb {N} }|z_{n}|<2\}.$

Dla różnych $c$ otrzymuje się różne zbiory, stąd $J$ jest rodziną zbiorów.

Własności

Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny, jeżeli $c$ należy do zbioru Mandelbrota. Jeśli zbiór Julii jest poza zbiorem Mandelbrota, składa się on ze zbioru rozproszonych punktów, taki zbiór nazywany jest pyłem Fatou.

Zobacz też

• współrzędne Fatou

Bibliografia

• Agnijo Banerjee, David Darling: Dziwna matematyka. Helion S.A., 2020. ISBN 83-283-5687-2.
• Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993, s. 89–101. ISBN 83-204-1676-0.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Julia Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• FractalTS Generator zbiorów mandelbrota, płonącego statku oraz odpowiadających zbiorów julii