Ciągi liczbowe
edytuj
Ciągi funkcyjne
edytuj
Niech
X
{\displaystyle X}
f
n
,
f
:
X
⟶
R
.
{\displaystyle f_{n},f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} .}
Ciąg
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
zbieżny monotonicznie do funkcji
f
,
{\displaystyle f,}
(
∀
n
∈
N
)
(
∀
x
∈
X
)
(
f
n
(
x
)
⩽
f
n
+
1
(
x
)
)
{\displaystyle {}\quad (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x){\big )}}
(
∀
n
∈
N
)
(
∀
x
∈
X
)
(
f
n
(
x
)
⩾
f
n
+
1
(
x
)
)
{\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\geqslant f_{n+1}(x){\big )}}
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle {}\quad (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
zbieżny punktowo do funkcji
f
,
{\displaystyle f,}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
(
x
)
=
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x).}
Warunek (1) zapewnia, że ciąg
(
f
n
(
x
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
ciąg
(
f
n
(
x
)
)
n
∈
N
{\displaystyle {\big (}f_{n}(x){\big )}_{n\in \mathbb {N} }}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
.
Przykładowe użycie
edytuj
Twierdzenie Diniego : jeśli
f
n
,
f
:
[
0
,
1
]
⟶
R
{\displaystyle f_{n},f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} }
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
f
,
{\displaystyle f,}
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jednostajnie do
f
.
{\displaystyle f.}
Twierdzenie Lebesgue’a : jeśli
f
n
:
[
0
,
1
]
⟶
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,\infty )}
całkowalne w sensie Lebesgue’a i ciąg
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
f
,
{\displaystyle f,}
f
{\displaystyle f}
∫
[
0
,
1
]
f
=
lim
n
→
∞
∫
[
0
,
1
]
f
n
.
{\displaystyle {}\int \limits _{[0,1]}f=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{[0,1]}f_{n}.}
![{\displaystyle f_{n},f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870e7a8ddd822fe57649c66b496bf282ae37f44b)
![{\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb89c9402c8217c030c8a44151d809f06e6d2524)
![{\displaystyle {}\int \limits _{[0,1]}f=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{[0,1]}f_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d773561e9cbc1a4213a73c0d8c7d18ba9e13d8d)