Kryterium Condorceta

Kryterium Condorceta – w teorii wyboru społecznego, cecha metod wyborczych, opisująca czy prowadzą do wybrania zwycięzców Condorceta, czyli tych opcji, które wygrywają w głosowaniach między wszystkimi parami alternatyw. Kryterium to odzwierciedla ustalenia francuskiego matematyka i filozofa z XVIII wieku, Nicolasa Condorceta.

Nie w każdej sytuacji da się określić tak zdefiniowanych zwycięzców. Ten problem może wystąpić wskutek cykliczności preferencji, co jest podstawą paradoksu Condorceta. Kryterium nie gwarantuje więc rozstrzygnięcia wyborów, i nie definiuje samodzielnie kompletnej metody głosowania. Zaproponowano szereg metod condorcetowskich, które są uzupełnione o różne sposoby rozwiązania paradoksu i mają na celu jednoznaczne wyłanianie zwycięzców spośród opcji spełniających kryterium Condorceta.

Historia

Wczesny opis metody ustalenia zwycięzcy głosowania przez porównanie poparcia parami, zgodnej z koncepcjami Condorceta, przedstawił już w 1299 średniowieczny filozof Rajmund Llull w traktacie De Arte Eleccionis. Ten sam autor opisał też system głosowania identyczny z metodą Bordy w powieści Blanquerna z ok. 1283. Nie towarzyszyło temu jednak matematyczne ani logiczne uzasadnienie dla stosowania tych procedur^[1]^[2].

Analityczny opis zagadnienia sformułował w 1785 Condorcet, francuski myśliciel i orędownik demokracji, w pracy Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Przekonywał w niej o wartości demokratycznych metod, wyprowadzając twierdzenie Condorceta o ławie przysięgłych. Argumentował o sensowności uznania za zwycięską takiej opcji w wyborach, która wygrałaby z każdą z alternatyw w osobnych głosowaniach parami. Dostrzegał przy tym, że wyznaczenie takiej opcji nie jest możliwe, gdy preferencje są cykliczne (analogicznie do potrójnego cyklu w grze w papier, kamień, nożyce, jak to opisał np. Saari). W dalszej części tekstu przedstawił niekompletny zarys rozwiązania tego problemu; według opracowania Hamana, podobne do tego szkicu są np. rozwinięte później metoda maksyminu i metoda Copelanda^[3]^[4]^[5]^[6].

W ciągu następnych stuleci badacze przedstawili wiele propozycji metod condorcetowskich; wszystkie spełniają kryterium Condorceta, jednak niektóre odbiegają od dodatkowych, pobocznych koncepcji tego myśliciela^[5].

Opis formalny

Zgodnie z notacją Fishburna, formalna definicja klasycznego kryterium Condorceta określa, że przy relacji większościowego zwycięstwa w zestawieniu parami $W_{p},$ funkcja wyboru społecznego $C$ jest condorcetowska wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zbiorów alternatyw $A$ i preferencji $p$ ^[7]:

C(A,p)=\{x\},

gdzie

\forall y\in A\setminus \{x\}:x\in A\land xW_{p}y,

to znaczy gdy wybiera dokładnie taki zbiór, w którym znajduje się jedynie opcja wygrywająca w głosowaniu większościowym z każdą inną alternatywą.

Fishburn opisał także dodatkowe warianty kryterium, które zaproponowano w 20 wieku:

Kryterium Smitha: jeśli $A$ można podzielić na niepuste podzbiory $A_{1}$ i $A_{2},$ gdzie $a_{1}W_{p}a_{2}$ dla wszystkich $a_{1}\in A_{1}$ i $a_{2}\in A_{2},$ to $A_{2}\cap C(A,p)=\varnothing .$ Spełniająca to kryterium funkcja musi wybierać tylko najmniejszy zbiór alternatyw, które wygrywają ze wszystkimi opcjami spoza tego zbioru^[8].

Inkluzywne kryterium (słabego zwycięzcy) Condorceta: poza warunkami klasycznej formy kryterium, $\{x\in A:\nexists yW_{p}x\}\subseteq C(A,p),$ gdy drugi zbiór nie jest pusty^[8].

W notacji Hamana, jeśli w zbiorze alternatyw $B$ istnieje podzbiór słabych zwycięzców Condorceta $(SZC),$ czyli alternatywy nieprzegrywające w głosowaniu większościowym parami z żadnymi opcjami należącymi do $B,$ to co najmniej jedna z nich powinna należeć do zbioru alternatyw wybranych przez funkcję wyboru społecznego $w,$ przy zbiorze preferencji $\Re$ i relacji przewagi preferencji $M$ ^[5]:

{\begin{alignedat}{0}SZC=\{x\in B:\forall y\in B\sim (yMx)\}\\SZC\neq \varnothing \to w(\Re ,B)\cap SZC\neq \varnothing \end{alignedat}}

Jest to osłabiona forma tego kryterium, ponieważ inaczej niż wersja Fishburna, nie wymaga aby wszystkie elementy $SZC$ zostały wybrane.

Ekskluzywne kryterium (słabego zwycięzcy) Condorceta: $C(A,p)\subseteq {x\in A:yW_{p}x,\nexists y\in A},$ gdy drugi zbiór nie jest pusty^[8].

W notacji Hamana, jeśli zbiór $SZC$ nie jest pusty, to żadna opcja spoza niego nie powinna zostać wybrana^[5]:

{\begin{alignedat}{0}SZC=\{x\in B:\forall y\in B\sim (ymx)\}\\SZC\neq \varnothing \to w(\Re ,B)\subseteq SZC\end{alignedat}}

Ścisłe kryterium Condorceta: $C(A,p)={x\in A:yW_{p}x,\nexists y\in A},$ gdy drugi zbiór nie jest pusty^[8].

Zwycięzcy Condorceta wygrywają ze wszystkimi alternatywami; „słabi” zwycięzcy Condorceta nie przegrywają z żadną. O ile preferencje są przechodnie lub antycykliczne, to w zbiorze alternatyw muszą znajdować się są co najmniej słabi wyborcy Condorceta^[5].

Klasyczne kryterium Condorceta mieści się w kryterium inkluzywnym, które jest z kolei implikowane przez kryterium ekskluzywne, a ono przez ścisłą postać. Zbiór generowany przez kryterium Smitha mieści zbiór słabych zwycięzców Condorceta; są tożsame i zachodzi między nimi jednostronna implikacja, gdy preferencje są przechodnie^[5].

Według Fishburna, spośród różnych postaci kryterium najbardziej przekonujące normatywnie jest kryterium Smitha^[8]. Haman ocenia tak wersję klasyczną. Zaznacza jednak przy tym, że opcja uznana według niej za zwycięską, „nie musi być alternatywą »słuszną«, »korzystną« lub »sprawiedliwą«, [a kandydat] »najkompetentniejszy« i »najlepszy«”. Metody condorcetowskie gwarantują jednak co najmniej stabilność, ugruntowaną w autentycznym większościowym poparciu^[5].

Dane z głosowania mogą być przedstawione w macierzy $WP$ (wielkości przewagi w głosowania większościowym na parach alternatyw), lub macierzy $WG$ (wyników głosowania większościowego). Dla mocnego zwycięzcy wszystkie wyrazy odpowiedniego wiersza poza główną przekątną mają wartości dodatnie; dla słabego zwycięzcy są nieujemne^[5].

Spełnianie kryterium Condorceta

Metody spełniające kryterium Condorceta

metoda Schulzego
metoda Blacka (ang. Black method)
Copeland’s method(inne języki)
Dodgson’s method(inne języki)
Kemeny-Young method(inne języki)
Minimax Condorcet(inne języki)
Nanson’s method(inne języki)
Minimax Condorcet(inne języki) (Smith/minimax)
Ranked Pairs(inne języki)

Metody niespełniające kryterium Condorceta

Przypisy

↑ KotaroK. Suzumura KotaroK., Introduction, [w:] Kenneth J.K.J. Arrow, Amartya K.A.K. Sen, KotaroK. Suzumura (red.), Handbook of Social Choice and Welfare, t. 1, North Holland, 2002, s. 1–32, DOI: 10.1016/s1574-0110(02)80004-2, ISBN 978-0-444-82914-6 [dostęp 2021-11-09] (ang.).
↑ Introduction, [w:] WulfW. Gaertner WulfW., A primer in social choice theory, wyd. 2, Oxford: Oxford University Press, 2009, s. 3–4, ISBN 978-0-19-956530-6, OCLC 654777858 [dostęp 2021-11-09] .
↑ The Problem with Condorcet, [w:] Donald G.D.G. Saari Donald G.D.G., Basic Geometry of Voting, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1995, s. 51, DOI: 10.1007/978-3-642-57748-2_3, ISBN 978-3-540-60064-0 [dostęp 2021-11-09] (ang.).
↑ Peter C.P.C. Fishburn Peter C.P.C., Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 469, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09] .
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h JacekJ. Haman JacekJ., Demokracja, decyzje, wybory, wyd. 1, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe „Scholar”, 2003, s. 91–92, 99–100, ISBN 83-7383-035-9, OCLC 249763213 [dostęp 2021-10-30] .
↑ DuncanD. Black DuncanD., The Theory of Committees and Elections, Dordrecht: Springer, 1986, s. 168, DOI: 10.1007/978-94-009-4225-7, ISBN 978-94-009-4225-7 [dostęp 2021-11-09] (ang.).
↑ Peter C.P.C. Fishburn Peter C.P.C., Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 471, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09] .
↑ ^a ^b ^c ^d ^e Peter C.P.C. Fishburn Peter C.P.C., Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 478–479, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09] .

Bibliografia

Duncan Black: The Theory of Committees and Elections. Cambridge University Press, 1958. (ang.).
Robin Farquarson: Theory of Voting. Oxford: 1969. (ang.).
Amartya Kumar Sen: Collective Choice and Social Welfare. Holden-Day, 1970. ISBN 978-0816277650. (ang.).

[1] KotaroK. Suzumura KotaroK., Introduction, [w:] Kenneth J.K.J. Arrow, Amartya K.A.K. Sen, KotaroK. Suzumura (red.), Handbook of Social Choice and Welfare, t. 1, North Holland, 2002, s. 1–32, DOI: 10.1016/s1574-0110(02)80004-2, ISBN 978-0-444-82914-6 [dostęp 2021-11-09] (ang.).

[2] Introduction, [w:] WulfW. Gaertner WulfW., A primer in social choice theory, wyd. 2, Oxford: Oxford University Press, 2009, s. 3–4, ISBN 978-0-19-956530-6, OCLC 654777858 [dostęp 2021-11-09] .

[3] The Problem with Condorcet, [w:] Donald G.D.G. Saari Donald G.D.G., Basic Geometry of Voting, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1995, s. 51, DOI: 10.1007/978-3-642-57748-2_3, ISBN 978-3-540-60064-0 [dostęp 2021-11-09] (ang.).

[4] Peter C.P.C. Fishburn Peter C.P.C., Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 469, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09] .

[:0-5] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h JacekJ. Haman JacekJ., Demokracja, decyzje, wybory, wyd. 1, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe „Scholar”, 2003, s. 91–92, 99–100, ISBN 83-7383-035-9, OCLC 249763213 [dostęp 2021-10-30] .

[6] DuncanD. Black DuncanD., The Theory of Committees and Elections, Dordrecht: Springer, 1986, s. 168, DOI: 10.1007/978-94-009-4225-7, ISBN 978-94-009-4225-7 [dostęp 2021-11-09] (ang.).

[7] Peter C.P.C. Fishburn Peter C.P.C., Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 471, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09] .

[:1-8] Peter C.P.C. Fishburn Peter C.P.C., Condorcet Social Choice Functions, „SIAM Journal on Applied Mathematics”, 33 (3), 1977, s. 478–479, ISSN 0036-1399 [dostęp 2021-11-09] .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]