Minimalizacja kosztów przedsiębiorstwa

Minimalizacja kosztów przedsiębiorstwa – jeden z głównych problemów mikroekonomii badanych w teorii postępowania producenta. Ma on na celu znalezienie możliwie najniższego kosztu, który zapewni wytworzenie określonego poziomu produkcji bądź też wyznaczenia w ogóle najniższych kosztów produkcji danego przedsiębiorstwa. Problem minimalizacji kosztów przedsiębiorstwa może zostać rozwiązany poprzez:

• znalezienia punktu stycznego między izokosztą (linią jednakowego kosztu czynników produkcji) a izokwantą (krzywa jednakowego poziomu produkcji danych czynników produkcji),
• korzystając z metody mnożników Lagrange’a.

Warto zaznaczyć, że problem minimalizacji kosztów przedsiębiorstwa jest tożsamy z problemem maksymalizacji jej zysku.

Minimalizacja kosztów dla określonej produkcji

Problem minimalizacji kosztów może zostać zapisany jako:

$\min(w\cdot L+r\cdot K)$ przy warunku $f(L,K)=y,$

gdzie:

$L$ – ilość zaangażowanych jednostek pracy,

$K$ – ilość zaangażowanego kapitału,

$w$ – cena jednostki pracy,

$r$ – cena jednostki kapitału,

$y$ – ilość wyprodukowanego dobra.

Najniższe możliwe koszty produkcji dla określonego $y$ zależą od funkcji produkcji $f(L,K)$ będącej ograniczeniem technicznych czynników $K$ i $L$ dla wytworzenia danego $y$ oraz od funkcji kosztów $c(w,r,y)=w\cdot L+r\cdot K,$ która po odpowiednich przekształceniach daje nam linię jednakowego kosztu o nachyleniu $-{\tfrac {w}{r}}$ stanowiącą ograniczenie budżetowe produkcji danego poziomu $y.$

Tym samym znalezienie optymalnego rozwiązania sprowadza się do wyznaczenia punktu, gdzie nachylenie izokoszty będzie równe nachyleniu izokwanty, która de facto jest krańcową stopą technicznej substytucji; tak więc równanie to będzie miało postać:

$MRST(L_{E},K_{E})=-{\frac {MPL(L_{E},K_{E})}{MPK(L_{E},K_{E})}}=-{\frac {w}{r}},$

a to można zapisać jako:

${\frac {MPL(L_{E},K_{E})}{w}}=-{\frac {MPK(L_{E},K_{E})}{r}}.$

Z powyższego równania można wywnioskować, że przedsiębiorstwa minimalizujące koszty produkcji będą angażować tyle czynników produkcji tak, aby krańcowy produkt wytworzony z nich na jednostkę pieniądza wydanego na jego zaangażowanie był taki sam.

Minimalizacja kosztów w krótkim czasie

Analizując działalność przedsiębiorstwa w krótkim czasie, zakłada się, iż jeden z czynników produkcji jest stałą przez co nie może ono zmienić jego poziomu zaangażowania. Gdy założymy, że zmienną w funkcji kosztów jest tylko czynnik $L,$ funkcja ta będzie wyglądać następująco:

$c(w,r,y)=w\cdot L+r\cdot {\overline {K}},$

gdzie:

${\overline {K}}$ – stała ilość zaangażowanego kapitału.

Wtedy problem minimalizacji kosztów będzie można zapisać:

$\min(w\cdot L+r\cdot {\overline {K}})$ przy warunku $f(L,{\overline {K}})=y.$

W założonych okolicznościach osiągnięcie optymalnego rozwiązania przez przedsiębiorstwo będzie możliwe tylko dla jednego, konkretnego poziomu produkcji $y,$ gdyż dostosowuje ona ilość czynnika zmiennego $L$ do stałej ilości czynnika ${\overline {K}}.$ Spełnienie wcześniej wspomnianego warunku styczności izokwanty z izokosztą przez ten jeden punkt wskazuje, że jest to punkt optymalny również w długim czasie działania przedsiębiorstwa. Z tego powodu przedsiębiorstwa w krótkim czasie są zmuszone wybierać takie punkty, które jedynie przecinają te obie funkcje a ich koszty są wyższe od tego jedynego punktu styczności dającego optymalne rozwiązanie problemu.

Minimalizacja kosztów w długim czasie

Działanie przedsiębiorstwa w długim czasie znacznie ułatwia rozwiązanie kwestii minimalizowania kosztów, jako że wszystkie czynniki produkcji są zmienne, umożliwiając osiągnięcie optymalnego wyniku dla każdego poziomu produkcji $y.$ W takim przypadku funkcja kosztów będzie równa:

$c(w,r,y)=w\cdot L+r\cdot K.$

Wtedy problem minimalizacji kosztów będzie można zapisać:

$\min(w\cdot L+r\cdot K)$ przy warunku $f(L,K)=y.$

Analiza problemu minimalizacji kosztów z użyciem mnożników Lagrange’a

Korzystając z metody mnożników Lagrange’a, można znaleźć taką kombinację wielkości produkcji $y$ i zaangażowanych czynników, która przy danych cenach tych czynników pozwoli zminimalizować koszt całkowity.

$\min(w\cdot L+r\cdot K)$ przy warunku $f(L,K)=y.$

Powyższe funkcje zapisujemy w postaci funkcji Lagrange’a:

$\Psi (L,K,\lambda )=w\cdot L+r\cdot K-\lambda (f(L,K)-y),$

gdzie:

$\Psi$ – funkcja Langrage’a,

$\lambda$ – mnożnik Lagrange’a.

Funkcję poddajemy procesowy różniczkowania po wszystkich zmiennych (tj. $L,$ $K,$ $\lambda$) i następnie przyrównujemy wyniki do zera, wykorzystując tym samym warunek konieczny istnienia ekstremum (warunek pierwszego rzędu wymagający zerowania się pierwszych pochodnych funkcji):

${\frac {\partial \Psi }{\partial L}}=w-\lambda \cdot {\frac {\partial \Psi }{\partial L}}=0,$

${\frac {\partial \Psi }{\partial K}}=r-\lambda \cdot {\frac {\partial \Psi }{\partial K}}=0,$

${\frac {\partial \Psi }{\partial \lambda }}=y-f(L,K)=0.$

Dokonując pewnych uproszczeń, otrzymamy:

${\frac {w}{r}}={\frac {\partial \Psi /\partial L}{\partial \Psi /\partial K}}.$

W celu wyznaczenia szukanej ilości czynników produkcji, dla których koszty produkcji $y$ na danym poziomie są zminimalizowane, należy przekształcić powyższą zależność i wyznaczyć odpowiednio wartości tych czynników, a następnie podstawić je do funkcji produkcji $f(L,K)=y.$

Bibliografia

• Czarny E., Mikroekonomia, PWE, 2006, IBSN: 83-208-1603-3.
• Varian H.R., Mikroekonomia. Kurs średni – ujęcie nowoczesne, PWN, 2016, IBSN: 978-83-01-17403-3.