Model manipulatora robotycznego

Model manipulatora robotycznego uzyskuje się na bazie jego kinematyki oraz przy użyciu kilku dodatkowych wzorów. Wymagany on jest, aby zastosować algorytmy sterowania.

Przedstawione poniżej macierze zostały wyznaczone na bazie podwójnego wahadła. Dla bardziej skomplikowanego manipulatora będą występować różnice w liczbie zmiennych.

Macierz pseudoinercji

Macierz ta opisuje rozłożenie ciężaru na ramieniu robota.

$J_{i}={\begin{bmatrix}\int x^{2}dm&\int xydm&\int xzdm&\int xdm\\\int xydm&\int y^{2}dm&\int yzdm&\int ydm\\\int xzdm&\int yzdm&\int z^{2}dm&\int zdm\\\int xdm&\int ydm&\int zdm&\int dm\end{bmatrix}}$

Przyjmując, że masa będzie rozłożona równomiernie wzdłuż ramion wahadła, otrzymuje się macierze $J_{i}$ w postaci:

$J_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {l_{i}^{2}m_{i}}{3}}&0&0&-{\frac {l_{i}m_{i}}{2}}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\-{\frac {l_{i}m_{i}}{2}}&0&0&m_{i}\end{bmatrix}}$

Macierz bezwładności M

Składowe tej macierzy uzyskuje się ze wzoru:

$M_{ik}=\sum _{p=max(i,k)}^{n}Tr({\frac {\partial T_{p}}{\partial q_{i}}}J_{p}{\frac {\partial T_{p}^{T}}{\partial q_{k}}})+I_{i}\delta _{ik},$

gdzie:

$\delta _{ik}=1,$ gdy $i=k,$

$I_{i}$ to element (1,1) macierzy $J_{i},$

$T_{p}$ to kolejne macierze składowe kinematyki (notacja Denavita-Hartenberga).

Macierz Coriolisa

Wyznacza się jej części składowe osobno. Najpierw $c_{11}$ i $c_{12},$ później $c_{21}$ i $c_{22}$

${\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}q_{1}^{'}&q_{2}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{11}^{1}&c_{12}^{1}\\c_{21}^{1}&c_{22}^{1}\end{bmatrix}}.$

Poszczególne składowe przyjmą postać:

$C_{kr}^{i}=\sum _{s=max(k,r,i)}^{n}Tr\left({\frac {\partial ^{2}T_{s}}{\partial q_{k}\partial q_{r}}}J_{s}{\frac {\partial T_{s}^{T}}{\partial q_{i}}}\right).$

Macierz grawitacji

Wymagane jest wyznaczenie wektora g, który pokazuje kierunek działania grawitacji ziemskiej. Poszczególne składowe macierzy D zapisujemy jako:

$D_{i}=-\sum _{k=i}^{n}m_{k}<g,{\frac {\partial T_{k}}{\partial q_{i}}}R_{k}>,$ przy czym:

$<a,b>=a^{T}b=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},$

$R_{i}={\frac {1}{J_{i44}}}J_{i4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}l_{i}&0&0&1\end{bmatrix}}^{T}.$

Sprawdzenie

Po uzyskaniu modelu matematycznego należy upewnić się, że policzony został on prawidłowo. Wymagane są dwa warunki:

1. $M=M^{T}>0$ macierz M musi być odwracalna, symetryczna, dodatnio określona,
2. $M'=C+C^{T}$ musi zachodzić skośna symetria.

Jeżeli obydwa warunki są spełnione, to model będzie prawidłowy (o ile nie popełniono błędu przy liczeniu macierzy grawitacji).